Question Number 118485 by bramlexs22 last updated on 18/Oct/20
$${If}\:{partial}\:{fraction}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +{px}+\mathrm{18}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}}\:{can}\:{be}\:{written} \\ $$$${as}\:\frac{{q}}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{4}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{{r}}{{x}+\mathrm{1}}.\:{Then}\:{find}\:{the} \\ $$$${value}\:{of}\:{p}−{q}+\mathrm{2}{r}\:. \\ $$
Answered by benjo_mathlover last updated on 18/Oct/20
$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +{px}+\mathrm{18}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}}\:\equiv\:\frac{{q}}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{4}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{{r}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${we}\:{first}\:{find}\:{the}\:{value}\:{of}\:{p}. \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +{px}+\mathrm{18}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:\right]_{{x}\:=\:−\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{4}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{40}−\mathrm{2}{p}+\mathrm{18}}{\left(−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{5}\right)}\:\right]\:=\:\frac{\mathrm{58}−\mathrm{2}{p}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{20}\:=\:\mathrm{58}−\mathrm{2}{p}\:;\:{p}\:=\:\mathrm{19}\: \\ $$$${now}\:{we}\:{find}\:{the}\:{value}\:{of}\:{q}\:{and}\:{r}. \\ $$$$\Rightarrow{q}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19}{x}+\mathrm{18}}{\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)}\:\right]_{{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow{q}\:=\:\left[\:\frac{\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{19}}{\mathrm{2}}+\mathrm{18}}{\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)}\:\right]\:=\:\frac{\mathrm{4}×\mathrm{30}}{\mathrm{15}}\:=\:\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow{r}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{19}{x}+\mathrm{18}}{\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)}\:\right]_{{x}\:=\:−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{r}\:=\:\left[\:\frac{\mathrm{10}−\mathrm{19}+\mathrm{18}}{\left(−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}\right)}\:\right]\:=\:\frac{\mathrm{9}}{−\mathrm{3}}\:=\:−\mathrm{3}\: \\ $$$${Thus}\:{the}\:{value}\:{of}\:{p}−{q}+\mathrm{2}{r}\:=\:\mathrm{19}−\mathrm{8}−\mathrm{6}=\:\mathrm{5}\: \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 18/Oct/20
$$\frac{\mathrm{10}{x}^{\mathrm{2}} +{px}+\mathrm{18}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}}=\:\frac{{q}}{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{4}}{{x}+\mathrm{2}}\:+\:\frac{{r}}{{x}+\mathrm{1}}. \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{18}=\mathrm{qx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3qx}+\mathrm{2q}+\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{4}+\mathrm{2rx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3rx}−\mathrm{r} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{px}+\mathrm{18}=\left(\mathrm{q}+\mathrm{2r}+\mathrm{8}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3q}+\mathrm{3r}+\mathrm{4}\right)\mathrm{x}+\mathrm{2q}−\mathrm{2r}−\mathrm{4} \\ $$$$\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{q}+\mathrm{2r}+\mathrm{8}=\mathrm{10}\left(\mathrm{1}\right)}\\{\mathrm{3q}+\mathrm{3r}+\mathrm{4}=\mathrm{p}\left(\mathrm{2}\right)}\\{\mathrm{2q}−\mathrm{2r}−\mathrm{4}=\mathrm{18}\left(\mathrm{3}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Adding}\:\left(\mathrm{3}\right)\mathrm{to}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{3q}+\mathrm{4}=\mathrm{28}\Rightarrow\mathrm{q}=\mathrm{8},\mathrm{replace} \\ $$$$\mathrm{into}\:\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{r}=−\mathrm{3},\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{p}=\mathrm{3}.\mathrm{8}−\mathrm{3}.\mathrm{3}+\mathrm{4}=\mathrm{19} \\ $$$$\mathrm{Thus},\left(\mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r}\right)=\left(\mathrm{19},\mathrm{8},−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\mathrm{Therefore},\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{p}−\mathrm{q}+\mathrm{2r}=\mathrm{5} \\ $$