Question Number 149567 by mathdanisur last updated on 06/Aug/21
$${if}\:\:\boldsymbol{{q}}\:\:{is}\:{prime}\:{number}\:{fixed},\:{then} \\ $$$${solve}\:{for}\:{natural}\:{numbers}\:{the}\:{equation}: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{q}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{y}}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{{z}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Aug/21
$$\mathrm{My}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{too}\:\mathrm{lengthy}. \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{waiting}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{better} \\ $$$$\mathrm{solution}. \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 07/Aug/21
$$\mathrm{Dear}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{hawe}:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{n}=\mathrm{q}\:…. \\ $$$$\mathrm{Ser},\:\mathrm{this}\:\mathrm{true}\:\mathrm{or}\:\mathrm{wrong}.? \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Aug/21
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({q}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({q}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left({q}−\mathrm{1}\right)\left({q}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{{q}+\mathrm{1}+{q}−\mathrm{1}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}\left({q}−\mathrm{1}\right)\left({q}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2}{q}−\mathrm{2}}{\mathrm{2}\left({q}−\mathrm{1}\right)\left({q}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\cancel{\mathrm{2}\left({q}−\mathrm{1}\right)}}{\cancel{\mathrm{2}\left({q}−\mathrm{1}\right)}\left({q}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{{q}+\mathrm{1}}\neq\frac{\mathrm{1}}{{q}} \\ $$$${Not}\:{correct}\:{ser}. \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 07/Aug/21
$$\mathrm{Sorry}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\:…\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Aug/21
$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}}{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}−\mathrm{2}}{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}-\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\:\checkmark \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{means}\:\mathrm{that}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solution}. \\ $$