Question Number 33036 by rahul 19 last updated on 09/Apr/18
$${If}\:{range}\:{of}\: \\ $$$${f}\left({x}\right)=\:\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)\left({x}+\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{4}\right)+\mathrm{5} \\ $$$${x}\in\:\left[−\mathrm{6},\mathrm{6}\right]\:{is}\:\left[{a},{b}\right]\:,{a},{b}\in{N},\:{find}\:{a}+{b}\:? \\ $$
Answered by MJS last updated on 09/Apr/18
$$\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{maximum}\:\mathrm{of}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{given} \\ $$$$\mathrm{interval} \\ $$$${f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{10}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{35}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{50}{x}+\mathrm{29} \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{30}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{70}{x}+\mathrm{50}= \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{5}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{x}+\mathrm{5}\right) \\ $$$${f}'\left({x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}.\mathrm{5} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\approx−\mathrm{3}.\mathrm{618} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\approx−\mathrm{1}.\mathrm{382} \\ $$$${f}''\left({x}\right)=\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{60}{x}+\mathrm{70} \\ $$$${f}''\left({x}_{\mathrm{1}} \right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{local}\:\mathrm{maximum} \\ $$$${f}''\left({x}_{\mathrm{2}} \right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{local}\:\mathrm{minimum} \\ $$$${f}''\left({x}_{\mathrm{3}} \right)>\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{3}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{local}\:\mathrm{minimum} \\ $$$${f}\left({x}_{\mathrm{1}} \right)=\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{16}}=\mathrm{5}.\mathrm{5625}<{f}\left(−\mathrm{6}\right)<{f}\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$${f}\left({x}_{\mathrm{2}} \right)={f}\left({x}_{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$$${max}\left({f}\left({x}\right)\right)={f}\left(\mathrm{6}\right)=\mathrm{5045};\:{x}\in\left[−\mathrm{6};\mathrm{6}\right] \\ $$$${min}\left({f}\left({x}\right)\right)={f}\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{4};\:{x}\in\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{5045}+\mathrm{4}=\mathrm{5049} \\ $$
Commented by rahul 19 last updated on 09/Apr/18
$${i}\:{am}\:{not}\:{able}\:{to}\:{understand}\:{last}\:\mathrm{2}\:{lines}; \\ $$$${what}\:{if}\:\mathrm{5}.\mathrm{5625}>\:{f}\left(\mathrm{6}\right)\:?\:{and}\:{if}\:{it}\:{lies} \\ $$$${in}\:{between}\:{f}\left(−\mathrm{6}\right)\:,\:{f}\left(\mathrm{6}\right)? \\ $$$${similarly}\:{we}\:{have}\:{not}\:{put}\:{f}\left(−\mathrm{6}\right)\: \\ $$$${as}\:{it}\:{does}\:{not}\:{give}\:{min}.\:{value}\:? \\ $$$${why}\:{x}\in\left[−\mathrm{6},\mathrm{6}\right]\:{andx}\in\:{R}\:{othertime}\:? \\ $$
Commented by MJS last updated on 09/Apr/18
$$\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case},\:{f}\left(\mathrm{6}\right)=\mathrm{5045}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{maximum}\:\mathrm{for}\:{x}\in\left[−\mathrm{6};\mathrm{6}\right] \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{found}\:\mathrm{local}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{at} \\ $$$${x}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{which}\:{could}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{maximum}\:\mathrm{in}\:\left[−\mathrm{6};\mathrm{6}\right]\:\mathrm{but}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{not} \\ $$$$\mathrm{because}\:{f}\left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{89}}{\mathrm{16}}<\mathrm{5045} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{of}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{im}\:\mathrm{this} \\ $$$$\mathrm{interval}\:\mathrm{is}\:\mathrm{5045} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{is}\:\mathrm{4},\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{even}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{absolute}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:{f}\left({x}\right)\:\mathrm{for} \\ $$$${x}\in\mathbb{R}\:\Rightarrow\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{also}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum} \\ $$$$\mathrm{within}\:\left[−\mathrm{6};\mathrm{6}\right] \\ $$
Commented by rahul 19 last updated on 09/Apr/18
$${thank}\:{u}\:{so}\:{much}\:{sir}\:! \\ $$
Commented by MJS last updated on 10/Apr/18
$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome} \\ $$