Question Number 128336 by liberty last updated on 06/Jan/21
$$\mathrm{If}\:\:\frac{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}+\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{x}−\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{5}\:\mathrm{then}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\frac{\mathrm{3cos}\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3cos}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\:?\: \\ $$
Answered by bramlexs22 last updated on 06/Jan/21
$$\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}}{\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\right)}{\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)}\:=\:\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}}\:=\:\mathrm{5}\:;\:\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}=\mathrm{5}−\mathrm{5sin}\:{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{6sin}\:{x}=\mathrm{4}\:;\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$${then}\:\frac{\mathrm{3cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\Rightarrow\frac{\mathrm{4}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\right)}{\mathrm{2}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{2}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}}\:=\:\frac{\mathrm{14}}{\mathrm{5}}\:.\: \\ $$