Question Number 16041 by Tinkutara last updated on 17/Jun/17
$$\mathrm{If}\:\mathrm{sides}\:{a},\:{b},\:{c}\:\mathrm{of}\:\Delta{ABC}\:\mathrm{are}\:\mathrm{in}\:\mathrm{H}.\mathrm{P}., \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{A}}{\mathrm{2}}\right),\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{B}}{\mathrm{2}}\right),\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{C}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{in}\:\mathrm{H}.\mathrm{P}. \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 06/Jul/17
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{A}}{\mathrm{2}}\right),\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{B}}{\mathrm{2}}\right),\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\frac{{C}}{\mathrm{2}}\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{H}.\mathrm{P}.\:\mathrm{and}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{to}\:\mathrm{prove}\:{a},\:{b},\:{c}\:\mathrm{are}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{H}.\mathrm{P}. \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{B}}{\mathrm{2}}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{A}}{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{C}}{\mathrm{2}}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{B}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{B}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{B}}{\mathrm{2}}\:−\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}\:+\:{B}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}\:−\:{B}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{B}\:+\:{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{B}\:−\:{C}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}\:−\:{B}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{2}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{cos}\:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{B}\:−\:{C}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{C}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}\:−\:{B}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:\frac{{B}\:−\:{C}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:{A}}{\mathrm{sin}\:{C}}\:=\:\frac{\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{{C}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}\:−\:{B}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{{A}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\frac{{B}\:−\:{C}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\frac{{a}}{{c}}\:=\:\frac{\mathrm{sin}\:{A}\:−\:\mathrm{sin}\:{B}}{\mathrm{sin}\:{B}\:−\:\mathrm{sin}\:{C}}\:=\:\frac{{a}\:−\:{b}}{{b}\:−\:{c}} \\ $$$$\therefore\:\frac{\mathrm{2}}{{b}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{a}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{c}} \\ $$