Question Number 19760 by Tinkutara last updated on 15/Aug/17
$$\mathrm{If}\:\mathrm{sin}\:{x}\:+\:\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{tan}\:{x}\:+\:\mathrm{cosec}\:{x}\:+ \\ $$$$\mathrm{cot}\:{x}\:+\:\mathrm{sec}\:{x}\:=\:\mathrm{7},\:\mathrm{then}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 15/Aug/17
![sin x+cos x+(1/(sin x))+(1/(cos x))+((sin x)/(cos x)) +((cos x)/(sin x))=7 ⇒(sin x+cos x)[1+(2/(sin 2x))]+(2/(sin 2x))=7 let sin 2x=t and as (sin x+cos x)^2 =1+sin 2x ⇒ (sin x+cos x)=(√(1+t)) ⇒ (√(1+t))(1+(2/t))+(2/t)=7 ⇒ (√(1+t))(1+(2/t))+(1+(2/t))=8 ⇒ (1+(2/t))((√(1+t))+1)=8 ⇒ (((t+2)/t))((t/( (√(1+t))−1)))=8 ⇒ (t+2)=8(√(1+t))−8 ⇒ 64(1+t)=(t+10)^2 ⇒ t^2 −44t+36=0 ⇒ (t−22)^2 =484−36 ⇒ t−22=±(√((21)^2 +7)) ⇒So sin 2x= t=22−(√((21)^2 +7)) .](https://www.tinkutara.com/question/Q19772.png)
$$\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)\left[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}\right]+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}}=\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}=\mathrm{t} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{as}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2x} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\: \\ $$$$\Rightarrow\:\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{t}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\left(\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}}\right)\left(\frac{\mathrm{t}}{\left.\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{8}\right. \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\left(\mathrm{t}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}}−\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\mathrm{64}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)=\left(\mathrm{t}+\mathrm{10}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{44t}+\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{t}−\mathrm{22}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{484}−\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}−\mathrm{22}=\pm\sqrt{\left(\mathrm{21}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{So}\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2x}=\:\mathrm{t}=\mathrm{22}−\sqrt{\left(\mathrm{21}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}}\:\:\:. \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 15/Aug/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$