Question Number 17150 by Tinkutara last updated on 01/Jul/17
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{cos}\:{x}\:+\:\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{2}{Kx}\right)\:=\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{has}\:\mathrm{exactly}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution},\:\mathrm{then} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{rational}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form} \\ $$$$\frac{{P}}{{P}\:+\:\mathrm{1}},\:{P}\:\neq\:−\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{irrational}\:\mathrm{number}\:\mathrm{whose} \\ $$$$\mathrm{rational}\:\mathrm{approximation}\:\mathrm{does}\:\mathrm{not} \\ $$$$\mathrm{exceed}\:\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{irrational}\:\mathrm{number} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{rational}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{form} \\ $$$$\frac{{P}}{{P}\:−\:\mathrm{1}},\:{P}\:\neq\:\mathrm{1} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 03/Jul/17
$$\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{3cos}\:\left(\mathrm{2}{Kx}\right)=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{Kx}=\mathrm{1} \\ $$$${x}=\mathrm{2}{n}\pi \\ $$$$\mathrm{2}{mx}=\mathrm{4}{Kn}\pi \\ $$$$\mathrm{4}{Kn}\pi=\mathrm{2}{m}\pi\: \\ $$$${n}\:{has}\:{only}\:{one}\:{solution}. \\ $$$${if}\:{K}\:{is}\:{rational}\:\frac{{p}}{{q}} \\ $$$${n}=\frac{\mathrm{2}{mq}}{\mathrm{4}{p}}=\frac{{mq}}{{p}}\:{has}\:{infinite}\:{solution} \\ $$$${for}\:{m}={lp} \\ $$$$\mathrm{so}\:{K}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{rational}. \\ $$$${K}\:\mathrm{irrational} \\ $$$${n}=\frac{{m}}{\mathrm{2}{K}}\:\mathrm{gives}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution} \\ $$$${m}=\mathrm{0},{n}=\mathrm{0} \\ $$
Commented by 1234Hello last updated on 03/Jul/17
$$\mathrm{But}\:\mathrm{why}\:\mathrm{2}{Kx}\:=\:\mathrm{4}{Kn}\pi? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 03/Jul/17
$$\mathrm{Typo} \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{2}{mx}. \\ $$$${x}=\mathrm{2}{n}\pi\:\mathrm{for}\:\mathrm{cos}\:{x}=\mathrm{1} \\ $$$${for}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{Kx}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}{Kx}=\mathrm{2}{m}\pi \\ $$$${x}=\mathrm{2}{nx} \\ $$$$\mathrm{4}{Knx}=\mathrm{2}{m}\pi \\ $$