Question Number 121218 by ZiYangLee last updated on 06/Nov/20
$$\mathrm{If}\:{x}=\sqrt{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}},\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }. \\ $$
Answered by liberty last updated on 06/Nov/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\:=\:\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{9}−\mathrm{8}}=\:\mathrm{6} \\ $$