Question Number 86085 by Serlea last updated on 27/Mar/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{XY}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$
Commented by jagoll last updated on 27/Mar/20
$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{10}+\mathrm{2xy} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}\:=\:\pm\:\sqrt{\mathrm{20}}\:=\:\pm\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4xy} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}.\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{20}−\mathrm{20}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Prithwish Sen 1 last updated on 27/Mar/20
$${but},\:{sir} \\ $$$$\left({x}−{y}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:{x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{xy}\:=\:\mathrm{10}\:−\mathrm{2}.\mathrm{5}\:=\:\mathrm{0} \\ $$
Commented by jagoll last updated on 27/Mar/20
$$\mathrm{yes}.\:\mathrm{sorry}\:.\:\mathrm{made}\:\mathrm{mistake} \\ $$
Commented by Prithwish Sen 1 last updated on 27/Mar/20
$$\mathrm{It}'\mathrm{s}\:\mathrm{ok}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{Have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{nice}\:\mathrm{day}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 27/Mar/20
$${X}^{\mathrm{2}} +{Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$${X}^{\mathrm{2}} {Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{25} \\ $$$${z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}{z}+\mathrm{25}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({z}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$${z}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{X}^{\mathrm{2}} ={Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{X}^{\mathrm{2}} −{Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$
Commented by Prithwish Sen 1 last updated on 27/Mar/20
$${excellent}\:{sir}. \\ $$
Commented by Serlea last updated on 27/Mar/20
$$\mathrm{Ok} \\ $$$$\mathrm{X}^{\mathrm{2}} +\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{xy}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{xy}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2}\left(\mathrm{xy}\right)=−\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{2xy}=\mathrm{10}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2xy}=−\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}+\mathrm{10}\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}−\mathrm{10} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{20}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{20}\:\:\:}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Therefore}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{Y}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$