Question Number 118227 by bemath last updated on 16/Oct/20
$${If}\:{x}\:=\:\sqrt{\mathrm{42}−\sqrt{\mathrm{42}−\sqrt{\mathrm{42}−…}}} \\ $$$${y}\:=\:\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+…}}} \\ $$$${z}=\sqrt{{y}.\sqrt{{y}.\sqrt{{y}.\sqrt{{y}…}}}}\:.\:{Find}\:{x}+{y}+{z}\:. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Oct/20
$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{42}−\sqrt{\mathrm{42}−\sqrt{\mathrm{42}−…}}=\mathrm{42}−\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{42}\:=\mathrm{0}\:\:\: \\ $$$$\Delta=\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{42}\right)\:=\mathrm{1}+\mathrm{4}.\mathrm{42}\:=\mathrm{169}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{13}}{\mathrm{2}}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{13}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{7}\:\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} <\mathrm{0}\:\mathrm{to}\:\mathrm{eliminate}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}+\mathrm{y}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}−\mathrm{6}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta=\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{6}\right)\:=\mathrm{25}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{5}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}\:<\mathrm{0}\:\mathrm{to}\:\mathrm{eliminate} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{3}\:\:\Rightarrow\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{yz}\:\Rightarrow\mathrm{z}\:=\mathrm{y}=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}\:=\mathrm{6}+\mathrm{3}+\mathrm{3}\:=\mathrm{12} \\ $$
Commented by bemath last updated on 16/Oct/20
$${thank}\:{you} \\ $$
Commented by Bird last updated on 16/Oct/20
$${you}\:{are}\:{welcome} \\ $$