Question Number 112805 by Aina Samuel Temidayo last updated on 09/Sep/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}+\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{2b}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}−\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{2b}}},\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ax}+\mathrm{b}\:\mathrm{is} \\ $$
Answered by nimnim last updated on 09/Sep/20
$$\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}+\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{2b}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}−\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{2b}}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{2b}}}\:\left(\mathrm{by}\:\mathrm{componendo}\:\&\:\mathrm{dividendo}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{2b}}{\mathrm{a}−\mathrm{2b}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4x}}=\frac{\mathrm{2a}}{\mathrm{4b}}\:\:\left(\mathrm{by}\:\mathrm{componendo}\:\&\:\mathrm{dividendo}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}=\mathrm{ax} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{bx}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ax}+\mathrm{b}=\mathrm{0}\bigstar \\ $$
Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 09/Sep/20
$$\mathrm{Ok}.\:\mathrm{Thanks}. \\ $$