Question Number 26269 by ibraheem160 last updated on 23/Dec/17
$${if}\:{x}^{{x}} =\mathrm{2}\:{what}\:{is}\:{the}\:{value}\:{of}\:{x}? \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 23/Dec/17
$${x}^{{x}} =\mathrm{2} \\ $$$${x}\mathrm{ln}\:{x}=\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$${e}^{\mathrm{ln}\:{x}} \mathrm{ln}\:{x}=\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\:{x}={W}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}={e}^{{W}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)} =\frac{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}{{W}\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{0}.\mathrm{693147}}{{W}\left(\mathrm{0}.\mathrm{693147}\right)}=\frac{\mathrm{0}.\mathrm{693147}}{\mathrm{0}.\mathrm{444446}}=\mathrm{1}.\mathrm{559610} \\ $$