Question Number 172703 by mathlove last updated on 30/Jun/22
$${if}\:\sqrt{\frac{{x}}{{y}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\sqrt{\frac{{y}}{{x}}}\:{and}\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$$${thin}\:{faind}\:{volue}\:{of}\:{x}\centerdot{y}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 30/Jun/22
$$\sqrt{\frac{{x}}{{y}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}=\sqrt{\frac{{y}}{{x}}}\:{and}\:\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}\:;\:{xy}=? \\ $$$${Let}\:\sqrt{\frac{{x}}{{y}}}\:={a}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{a}}−{a}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right)={a} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:{a}^{\mathrm{2}} +{a}−\sqrt{\mathrm{2}}\:=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}\:^{\checkmark} ,\:\:\frac{−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left({rejected}\right) \\ $$$$\sqrt{\frac{{x}}{{y}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:}\Rightarrow\frac{{x}}{{y}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{y}=\mathrm{2}{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow{xy}={x}.\mathrm{2}{x}=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 30/Jun/22
$${thanks} \\ $$