Question Number 153128 by mathdanisur last updated on 04/Sep/21
$$\mathrm{if}\:\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{\mathrm{2}}\:+\:\sqrt{\mathrm{xy}}\:=\:\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{find}\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\:=\:? \\ $$
Answered by EDWIN88 last updated on 05/Sep/21
$$\:\:\begin{cases}{{x}+{y}={u}}\\{{xy}={v}}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{{u}+\mathrm{2}\sqrt{{v}}\:=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}\\{{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{v}=\sqrt{\mathrm{5}}}\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{2}\sqrt{{v}}=\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)−{u}}\\{\mathrm{2}{v}={u}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{5}}}\end{cases} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{4}{v}=\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}{u}+{u}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{4}{v}=\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}}\end{cases} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}={u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}{u}+\mathrm{6} \\ $$$$\Leftrightarrow{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}{u}−\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{6}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow{u}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\pm\sqrt{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{5}}\pm\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow{v}=\frac{{u}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow{v}=\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}\pm\sqrt{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{5}} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\frac{{u}}{{v}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\pm\sqrt{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{5}}\pm\sqrt{\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{5}}} \\ $$