Question Number 146488 by mathdanisur last updated on 13/Jul/21
$${if}\:\:\:{x}+{y}=\mathrm{216}\:\:\:{and}\:\:\:\boldsymbol{{dcm}}\left({x};{y}\right)=\mathrm{18} \\ $$$${find}\:\:\:{x}−{y}=? \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 13/Jul/21
$${the}\:{biggest}\:{common}\:{divisot} \\ $$
Commented by gsk2684 last updated on 13/Jul/21
$${dcm}\:{means}? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Jul/21
$$\mathrm{x}=\mathrm{qd}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{q}^{'} \mathrm{d}\:\mathrm{with}\:\Delta\left(\mathrm{q},\mathrm{q}^{'} \right)=\mathrm{1}\:\:\:\:\left(\mathrm{d}=\mathrm{18}\right) \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{216}\:\Rightarrow\mathrm{qd}\:+\mathrm{q}^{'} \:\mathrm{d}=\mathrm{216}\:\Rightarrow\mathrm{q}+\mathrm{q}^{'} \:=\frac{\mathrm{216}}{\mathrm{18}}=\mathrm{13} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\:\begin{cases}{\mathrm{q}+\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{13}}\\{\Delta\left(\mathrm{q},\mathrm{q}^{'} \right)=\mathrm{1}}\end{cases}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{q}^{'} =\mathrm{12}\:\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{18}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{12}×\mathrm{18}=… \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{11}\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{36}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{11}×\mathrm{18}=… \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{8}\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{3}×\mathrm{18}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{8}×\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{9}\:\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4}×\mathrm{18}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{9}×\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{8}\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5}×\mathrm{18}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{8}×\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{q}=\mathrm{6}\:\Rightarrow\mathrm{q}^{'} \:=\mathrm{7}\:\:\mathrm{sol}^{\mathrm{o}} \Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{6}×\mathrm{18}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}=\mathrm{7}×\mathrm{18} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{find}\:\mathrm{x}−\mathrm{y}….\left(\mathrm{dont}\:\mathrm{forget}\:\mathrm{symetrie}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}!\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\: \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 13/Jul/21
$${thanks}\:{Ser},\:{but}\:{answer}\:\mathrm{90};\mathrm{126} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Jul/21
$${mathmax}\:{sir} \\ $$$${In}\:\mathrm{2}{nd}\:{line}\:{a}\:{typo}: \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{216}\:\Rightarrow\mathrm{qd}\:+\mathrm{q}^{'} \:\mathrm{d}=\mathrm{216}\:\Rightarrow\mathrm{q}+\mathrm{q}^{'} \:=\frac{\mathrm{216}}{\mathrm{18}}=\mathrm{12} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Jul/21
$$\:\:\:{x}+{y}=\mathrm{216}\:\:\:{and}\:\:\:\boldsymbol{{gcd}}\left({x},{y}\right)=\mathrm{18} \\ $$$${Let}\:{x}=\mathrm{18}{u}\:\&\:{y}=\mathrm{18}{v}\:{where}\:\boldsymbol{{gcd}}\left({u},{v}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{216}\Rightarrow\mathrm{18}{u}+\mathrm{18}{v}=\mathrm{216} \\ $$$$\Rightarrow{u}+{v}=\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\left({u},{v}\right)=\left(\mathrm{1},\mathrm{11}\right)=\left(\mathrm{5},\mathrm{7}\right)=\left(\mathrm{7},\mathrm{5}\right)=\left(\mathrm{11},\mathrm{1}\right) \\ $$$${u}−{v}=−\mathrm{10},−\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{10} \\ $$$${x}−{y}=\mathrm{18}{u}−\mathrm{18}{v}=\mathrm{18}\left({u}−{v}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{18}\left(−\mathrm{10}\right),\mathrm{18}\left(−\mathrm{2}\right),\mathrm{18}\left(\mathrm{2}\right),\mathrm{18}\left(\mathrm{10}\right) \\ $$$${x}−{y}=−\mathrm{180},−\mathrm{36},\mathrm{36},\mathrm{180} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 13/Jul/21
$${thanks}\:{Ser},\:{but}\:\mathrm{90};\mathrm{126} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Jul/21
$${Your}\:{answers}\:{seem}\:{wrong}\:{to}\:{me}. \\ $$$$\:{x}+{y}=\mathrm{216}\left({given}\right) \\ $$$${If}\:{x}−{y}=\mathrm{90}\left({your}\:{answer}\right) \\ $$$$\:\:{x}=\mathrm{153}\:,{y}=\mathrm{63} \\ $$$$\boldsymbol{{gcd}}\left(\mathrm{153},\mathrm{63}\right)=\mathrm{9}\neq\mathrm{18} \\ $$$$\:{Similarly} \\ $$$$\:\:\:\:{x}+{y}=\mathrm{216}\left({given}\right) \\ $$$${If}\:{x}−{y}=\mathrm{126}\left({your}\:{answer}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{171}\:,{y}=\mathrm{45} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{{gcd}}\left(\mathrm{171},\mathrm{45}\right)=\mathrm{9}\neq\mathrm{18} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 13/Jul/21
$${good}\:{Ser},\:{thanks} \\ $$