Question Number 151142 by mathdanisur last updated on 18/Aug/21
$$\mathrm{if}\:\:\mathrm{x};\mathrm{y};\mathrm{z}\in\mathbb{R}^{+} \:\:\mathrm{and}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\geqslant\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$