Question Number 107922 by mohammad17 last updated on 13/Aug/20
$${if}:\:{y}=\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{then}\:{find}\:\frac{{d}\sqrt{{y}}}{{d}\sqrt{{x}}}\:? \\ $$
Answered by 1549442205PVT last updated on 13/Aug/20
$$\mathrm{Set}\:\sqrt{\mathrm{x}}\:=\mathrm{t}\:\mathrm{and}\:\sqrt{\mathrm{y}}=\mathrm{z}\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\Rightarrow\mathrm{2z}.\mathrm{z}'=\frac{\mathrm{2t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{4t}^{\mathrm{3}} .\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2z}.\mathrm{z}'=\frac{−\mathrm{2t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{y}}}{\mathrm{d}\sqrt{\mathrm{x}}}=\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{dt}}=\frac{−\mathrm{2t}^{\mathrm{5}} +\mathrm{2}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} .\mathrm{2z}}=\frac{−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\boldsymbol{\mathrm{d}}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{y}}}}{\boldsymbol{\mathrm{d}}\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}}=\frac{−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}} \\ $$