Question Number 21005 by Tinkutara last updated on 10/Sep/17
$$\mathrm{If}\:{z}_{\mathrm{1}} \:=\:{a}\:+\:{ib}\:\mathrm{and}\:{z}_{\mathrm{2}} \:=\:{c}\:+\:{id}\:\mathrm{are}\:\mathrm{complex} \\ $$$$\mathrm{numbers}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mid{z}_{\mathrm{1}} \mid\:=\:\mid{z}_{\mathrm{2}} \mid\:=\:\mathrm{1}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{Re}\left({z}_{\mathrm{1}} \bar {{z}}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{0},\:\mathrm{then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{pair}\:\mathrm{of}\:\mathrm{complex} \\ $$$$\mathrm{numbers}\:\omega_{\mathrm{1}} \:=\:{a}\:+\:{ic}\:\mathrm{and}\:\omega_{\mathrm{2}} \:=\:{b}\:+\:{id} \\ $$$$\mathrm{satisfy} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mid\omega_{\mathrm{1}} \mid\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mid\omega_{\mathrm{2}} \mid\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{Re}\left(\omega_{\mathrm{1}} \bar {\omega}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{4}\right)\:\mid\omega_{\mathrm{1}} \mid\:=\:\mathrm{2}\mid\omega_{\mathrm{2}} \mid \\ $$