In-a-trapezium-ABCD-with-AB-parallel-to-CD-If-M-is-the-midpoint-of-line-segment-AD-and-P-is-a-point-on-line-BC-such-that-MP-is-perpendicular-to-BC-Show-that-we-need-only-the-lengths-of-line-segme

FacebookTweetPin

Question Number 112060 by Aina Samuel Temidayo last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{In}\mathrm{a}\mathrm{trapezium},\mathrm{ABCD},\mathrm{with}\mathrm{AB}$$$$\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{CD}.\mathrm{If}\mathrm{M}\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}$$$$\mathrm{line}\mathrm{segment}\mathrm{AD}\mathrm{and}\mathrm{P}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{point}\mathrm{on}$$$$\mathrm{line}\mathrm{BC}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{MP}\mathrm{is}\mathrm{perpendicular}$$$$\mathrm{to}\mathrm{BC}.\mathrm{Show}\mathrm{that},\mathrm{we}\mathrm{need}\mathrm{only}\mathrm{the}$$$$\mathrm{lengths}\mathrm{of}\mathrm{line}\mathrm{segments}\mathrm{MP}\mathrm{and}\mathrm{BC}$$$$\mathrm{to}\mathrm{calculate}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{ABCD}.$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 06/Sep/20

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{Thanks}.\mathrm{Please}\mathrm{what}\mathrm{about}\mathrm{the}$$$$\mathrm{solution}?$$

Commented by 1549442205PVT last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{Denote}\mathrm{by}\mathrm{G}\mathrm{midpoint}\mathrm{of}\mathrm{BC}$$$$\mathrm{Suppose}\mathrm{known}\mathrm{MP}=\mathrm{m},\mathrm{BC}=\mathrm{a},\mathrm{then}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{BMC}}=\frac{\mathrm{BC}.\mathrm{MP}}{2}=\frac{\mathrm{am}}{2}.\mathrm{We}\mathrm{prove}\mathrm{that}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}={2\mathrm{S}}_{\mathrm{BMC}}.\mathrm{Indeed},\mathrm{Denote}\mathrm{byI},\mathrm{H}$$$$\mathrm{orthogonal}\mathrm{projections}\mathrm{of}\mathrm{points}\mathrm{B}\mathrm{and}$$$$\mathrm{C}\mathrm{on}\mathrm{MG}\mathrm{respectively}.\mathrm{Then}{\mathrm{S}}_{\mathrm{CMG}}=$$$$\frac{\mathrm{MG}.\mathrm{CH}}{2},{\mathrm{S}}_{\mathrm{BMG}}=\frac{\mathrm{MG}.\mathrm{BI}}{2}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{BMC}}={\mathrm{S}}_{\mathrm{CMG}}+{\mathrm{S}}_{\mathrm{BMG}}=\frac{\mathrm{MG}(\mathrm{BI}+\mathrm{CH})}{2}\left(1\right)$$$$\mathrm{Since}\mathrm{M},\mathrm{G}\mathrm{are}\mathrm{midpoints}\mathrm{of}\mathrm{BC}\mathrm{and}$$$$\mathrm{AD},\mathrm{MG}\mathrm{is}\mathrm{midline}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{trapezium}$$$$\mathrm{ABCD}.\mathrm{Since}\mathrm{AB}//\mathrm{CD},\mathrm{BI}+\mathrm{CH}\mathrm{equal}$$$$\mathrm{to}\mathrm{altitude}\mathrm{h}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{trapezium}.$$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{MG}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{CD}}{2},\mathrm{BI}+\mathrm{CH}=\mathrm{h}$$$$\mathrm{and}{\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{(\mathrm{AB}+\mathrm{CD}).\mathrm{h}}{2}=\mathrm{MG}.\mathrm{h}\left(2\right)$$$$\mathrm{From}\left(1\right)\mathrm{and}\left(2\right)\mathrm{we}\mathrm{infer}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}={2\mathrm{S}}_{\mathrm{BMC}}=\mathrm{a}.\mathrm{m}.\mathrm{That}\mathrm{thing}\mathrm{show}$$$$\mathrm{that}\mathrm{only}\mathrm{need}\mathrm{know}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{line}\mathrm{segments}\mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{MP}\mathrm{we}\mathrm{can}$$$$\mathrm{calculate}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{trapezium}$$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{Please}\mathrm{check}\mathrm{my}\mathrm{other}\mathrm{questions}\mathrm{out}.\mathrm{I}$$$$\mathrm{need}\mathrm{help}\mathrm{please}.$$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{Please}\mathrm{how}\mathrm{did}\mathrm{you}\mathrm{know}$$$${\mathrm{S}}_{\mathrm{ABCD}}={2\mathrm{S}}_{\mathrm{BMC}}?$$

Commented by 1549442205PVT last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{I}\mathrm{proved}\mathrm{above}!\mathrm{It}\mathrm{follows}\mathrm{from}\left(1\right)\mathrm{\&}\left(2\right)$$

Commented by Aina Samuel Temidayo last updated on 06/Sep/20

$$\mathrm{Ok}.\mathrm{Thanks}.\mathrm{Please}\mathrm{check}\mathrm{the}$$$$\mathrm{question}\mathrm{I}\mathrm{just}\mathrm{posted}.$$

Terms of Service
Privacy Policy
Contact: info@tinkutara.com

FacebookTweetPin