Question Number 144164 by bobhans last updated on 22/Jun/21
$$\mathrm{In}\:\Delta\mathrm{ABC}\:\mathrm{given}\:\mathrm{a}=\mathrm{5},\:\mathrm{b}=\mathrm{7}\:\&\:\mathrm{c}=\:\mathrm{4}. \\ $$$$\mathrm{If}\:\measuredangle\mathrm{CAB}\:=\:\alpha\:\mathrm{then}\:\mathrm{cot}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha\right)=? \\ $$
Answered by liberty last updated on 22/Jun/21
$$\mathrm{cot}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha\right)\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{s}\left(\mathrm{s}−\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{s}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{s}−\mathrm{c}\right)}} \\ $$$$\mathrm{where}\:\mathrm{s}\:=\:\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{5}+\mathrm{7}+\mathrm{4}}{\mathrm{2}}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{cot}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\alpha\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{8}\left(\mathrm{8}−\mathrm{5}\right)}{\left(\mathrm{8}−\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{8}−\mathrm{4}\right)}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\sqrt{\frac{\mathrm{8}.\mathrm{3}}{\mathrm{1}.\mathrm{4}}}\:=\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$