Question Number 63373 by MJS last updated on 31/Jul/19
$$\mathrm{just}\:\mathrm{found}\:\mathrm{this}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{web} \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{thought}\:\mathrm{it}\:\mathrm{might}\:\mathrm{help}\:\mathrm{in}\:\mathrm{some}\:\mathrm{cases}\:\mathrm{where} \\ $$$$\mathrm{quartics}\:\mathrm{appear}\:\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{Sir}\:\mathrm{Aifour}'\mathrm{s}\:\mathrm{geometric} \\ $$$$\mathrm{questions}.\:\mathrm{sometimes}\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{the}\:\mathrm{nature}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{roots},\:\mathrm{but}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{information}? \\ $$$$ \\ $$$${ax}^{\mathrm{4}} +{bx}^{\mathrm{3}} +{cx}^{\mathrm{2}} +{dx}+{e}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{divide}\:\mathrm{by}\:{a} \\ $$$$\mathrm{2}.\:{x}={z}−\frac{{b}}{\mathrm{4}{a}} \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{leads}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{reduced} \\ $$$$ \\ $$$${z}^{\mathrm{4}} +{pz}^{\mathrm{2}} +{qz}+{r}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{roots}: \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{16}{p}^{\mathrm{4}} {r}−\mathrm{4}{p}^{\mathrm{3}} {q}^{\mathrm{2}} −\mathrm{128}{p}^{\mathrm{2}} {r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}{pq}^{\mathrm{2}} {r}−\mathrm{27}{q}^{\mathrm{4}} +\mathrm{256}{r}^{\mathrm{3}} \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} ={p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{r} \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =−{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{r} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} <\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\:\mathrm{distinct}\:\mathrm{real}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}\:\mathrm{conjugated}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} >\mathrm{0}\wedge\left({p}<\mathrm{0}\wedge{T}_{\mathrm{3}} <\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{4}\:\mathrm{distinct}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} >\mathrm{0}\wedge\left({p}>\mathrm{0}\vee{T}_{\mathrm{3}} >\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\:\mathrm{pairs}\:\mathrm{of}\:\mathrm{conjugated}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge\left({p}<\mathrm{0}\wedge{T}_{\mathrm{3}} <\mathrm{0}\wedge{T}_{\mathrm{2}} \neq\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\:\mathrm{real}\:\mathrm{double}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}\:\mathrm{real}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge\left({T}_{\mathrm{3}} >\mathrm{0}\vee\left({p}>\mathrm{0}\wedge\left({T}_{\mathrm{3}} \neq\mathrm{0}\vee{q}\neq\mathrm{0}\right)\right)\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\:\mathrm{real}\:\mathrm{double}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}\:\mathrm{conjugated}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge\left({T}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\wedge{T}_{\mathrm{3}} \neq\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{1}\:\mathrm{real}\:\mathrm{triple}\:\mathrm{and}\:\mathrm{1}\:\mathrm{real}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge\left({T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\wedge{p}<\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\:\mathrm{real}\:\mathrm{double}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge\left({T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{0}\wedge{p}>\mathrm{0}\wedge{q}=\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\:\mathrm{conjugated}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{double}\:\mathrm{roots} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\wedge{T}_{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{all}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal} \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Jul/19
$${good}\:{information},\:{thanks}\:{sir}! \\ $$
Commented by MJS last updated on 31/Jul/19
$$\mathrm{I}\:\mathrm{just}\:\mathrm{corrected}\:\mathrm{2}\:\mathrm{typos} \\ $$$$\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{not}\:{r}\:\mathrm{but}\:{q}\:\mathrm{in}\:\mathrm{2}\:\mathrm{cases}… \\ $$