Question Number 185012 by aba last updated on 15/Jan/23
$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{kx}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ikx}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{Im}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \right)^{\mathrm{k}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{Im}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \right)}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} −\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{e}^{\mathrm{in}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} ×\frac{−\mathrm{2sin}\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{−\mathrm{2sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{e}^{\mathrm{in}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{kx}\right)=\frac{\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:\right)}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{Im}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{in}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{nx}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$
Commented by Frix last updated on 15/Jan/23
$$!!!! \\ $$$$\mathrm{Yes}\:{now}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{right}. \\ $$
Commented by aba last updated on 15/Jan/23
$$\mathrm{thank}\: \\ $$