Question Number 160833 by Raxreedoroid last updated on 07/Dec/21
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{ln}\:{k}\right)}{\:\sqrt{{k}}} \\ $$$$\mathrm{divergespnt}\:\mathrm{or}\:\mathrm{convergent}? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Dec/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{S}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnn}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreazing}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\:\exists\:\mathrm{m}>\mathrm{0}\:\:\mid\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnk}\right)\mid<\mathrm{m} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{lnk}\right)\:\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)} \right)=…. \\ $$$$\mathrm{lnk}\leqslant\mathrm{k}−\mathrm{1}? \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{lnx}−\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\varphi^{'} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:− \\ $$$$\varphi\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\mathrm{decr}\:\:\:−\infty\Rightarrow\:\:\:\mathrm{therem}\:\mathrm{dabel}\:\mathrm{dirichlet}\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{is}\:\mathrm{cv}.. \\ $$