Menu Close

k-1-k-2-0-8-k-1-




Question Number 105487 by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20
Σ_(k=1) ^∞ k^2 (0.8)^(k−1)
$$\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}.\mathrm{8}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20
let find S(x) =Σ_(n=1) ^∞  n^2  x^(n−1)    with ∣x∣<1  we have Σ_(n=0) ^∞  x^n  =(1/(1−x)) ⇒Σ_(n=1) ^∞  nx^(n−1)  =(1/((1−x)^2 )) ⇒  Σ_(n=1) ^∞  nx^n  =(x/((1−x)^2 )) ⇒Σ_(n=1) ^∞  nx^(n−1)  =(d/dx){(x/((x−1)^2 ))}  =(((x−1)^2 −2(x−1)x)/((x−1)^4 )) =((x−1−2x)/((x−1)^3 )) =((−x−1)/((x−1)^3 )) =((x+1)/((1−x)^3 ))  ⇒S(x) =((x+1)/((1−x)^3 )) ⇒  Σ_(n=1) ^∞  n^2 (0,8)^(n−1)  =Σ_(n=1) ^∞  n^2 ((4/5))^(n−1)  =S((4/5)) =(((4/5)+1)/((1−(4/5))^3 ))  =(9/5)×5^3  =25×9 =225
$$\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\mathrm{with}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left\{\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }\:=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{−\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0},\mathrm{8}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\mathrm{S}\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)\:=\frac{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}×\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{25}×\mathrm{9}\:=\mathrm{225} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20
Thanks
Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20
you are welcome.
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}. \\ $$

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *