Question Number 176482 by Vynho last updated on 19/Sep/22
$${L}\left({E}\right)\:{est}\:{l}'{algebre}\:{des}\:{endomorphisme} \\ $$$${continus}\:{d}'{un}\:{espace}\:{de}\:{Banach}\:{E}, \\ $$$${muni}\:{de}\:{la}\:{norme}\:{d}'{application}\:{lineaire} \\ $$$$;\:{GL}\left({E}\right)\:{est}\:{le}\:{sous}\:{ensemble}\:{des} \\ $$$${elements}\:{inversibles}\:{de}\:{L}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{a}\right){Montrer}\:{que}\:{GL}\left({E}\right)\:{est}\:{ouvert}\:{dans} \\ $$$${L}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{b}\right){montrer}\:{que}\:{l}'{application}\: \\ $$$$\emptyset:{GL}\left({E}\right)\rightarrow{GL}\left({E}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{u}\rightarrow{u}^{−\mathrm{1}} =\emptyset\left({u}\right)\:{est}\:{continu}\:{dans}\:{GL}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{c}\right){montrer}\:{que}\:\emptyset\:{est}\:{differentiable} \\ $$$${dans}\:{GL}\left({E}\right)\:{dt}\:{calculer}\:{d}\emptyset \\ $$