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L-E-est-l-algebre-des-endomorphisme-continus-d-un-espace-de-Banach-E-muni-de-la-norme-d-application-lineaire-GL-E-est-le-sous-ensemble-des-elements-inversibles-de-L-E-a-Montrer-que-GL-E-est-ouv




Question Number 176482 by Vynho last updated on 19/Sep/22
L(E) est l′algebre des endomorphisme  continus d′un espace de Banach E,  muni de la norme d′application lineaire  ; GL(E) est le sous ensemble des  elements inversibles de L(E)  a)Montrer que GL(E) est ouvert dans  L(E)  b)montrer que l′application   ∅:GL(E)→GL(E)          u→u^(−1) =∅(u) est continu dans GL(E)  c)montrer que ∅ est differentiable  dans GL(E) dt calculer d∅
$${L}\left({E}\right)\:{est}\:{l}'{algebre}\:{des}\:{endomorphisme} \\ $$$${continus}\:{d}'{un}\:{espace}\:{de}\:{Banach}\:{E}, \\ $$$${muni}\:{de}\:{la}\:{norme}\:{d}'{application}\:{lineaire} \\ $$$$;\:{GL}\left({E}\right)\:{est}\:{le}\:{sous}\:{ensemble}\:{des} \\ $$$${elements}\:{inversibles}\:{de}\:{L}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{a}\right){Montrer}\:{que}\:{GL}\left({E}\right)\:{est}\:{ouvert}\:{dans} \\ $$$${L}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{b}\right){montrer}\:{que}\:{l}'{application}\: \\ $$$$\emptyset:{GL}\left({E}\right)\rightarrow{GL}\left({E}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{u}\rightarrow{u}^{−\mathrm{1}} =\emptyset\left({u}\right)\:{est}\:{continu}\:{dans}\:{GL}\left({E}\right) \\ $$$$\left.{c}\right){montrer}\:{que}\:\emptyset\:{est}\:{differentiable} \\ $$$${dans}\:{GL}\left({E}\right)\:{dt}\:{calculer}\:{d}\emptyset \\ $$

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