Question Number 144380 by SOMEDAVONG last updated on 25/Jun/21
$$\mathrm{L}=\underset{\mathrm{n}\rightarrow+\propto} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}}\:+…+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}}\right)=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/21
$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2k}}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}=\mathrm{p}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$
Commented by SOMEDAVONG last updated on 25/Jun/21
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir}! \\ $$