La-somme-des-n-premiers-termes-d-une-se-rie-est-donne-par-S-n-5n-2-2n-le-n-ieme-terme-de-cette-serie-est-

Question Number 147988 by puissant last updated on 24/Jul/21

La somme des n premiers termes d^{'} une

s \overset{´}{e r i e} est donn \overset{´}{e} par S_{n} = {5 n}^{2} + 2 n le

n - ieme terme de cette serie est :

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 24/Jul/21

Soit u_{1} le 1 er terme de la serie .

On a u_{1} = S_{1} = 5 {(1)}^{2} + 2 (1) = 7

Soit u_{k} les termes de la serie .

S_{n} = \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{k} = 5 n^{2} + 2 n

Et donc, pour n ⩾ 2, on a :

S_{n - 1} = \underset{k = 1}{\sum^{n - 1}} u_{k} = 5 {(n - 1)}^{2} + 2 (n - 1)

Le n^{i e m e} terme vaut :

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = 5 n^{2} + 2 n - 5 {(n - 1)}^{2} - 2 (n - 1)

u_{n} = 10 n - 3

A partir de u_{n}, on peut alors retrouver

reciproquement l^{'} expression de S_{n} :

S_{n} = \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{k} = \underset{k = 1}{\sum^{n}} (10 k - 3) = 10 \underset{k = 1}{\sum^{n}} k - \underset{k = 1}{\sum^{n}} 3

S_{n} = 10 \frac{n (n + 1)}{2} - 3 n = 5 n^{2} + 2 n