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let-A-0-e-x-cos-x-dx-and-B-0-e-x-cosxdx-calculate-A-B-




Question Number 34298 by math khazana by abdo last updated on 03/May/18
let A_  = ∫_0 ^∞  e^(−x) cos[x]dx  and B = ∫_0 ^∞  e^(−[x])  cosxdx  calculate A−B  .
$${let}\:{A}_{\:} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{x}} {cos}\left[{x}\right]{dx}\:\:{and}\:{B}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−\left[{x}\right]} \:{cosxdx} \\ $$$${calculate}\:{A}−{B}\:\:. \\ $$
Commented by math khazana by abdo last updated on 08/May/18
A =lim_(n→+∞)   Σ_(k=0) ^(n−1)   ∫_k ^(k+1)  e^(−x)  cosk dx but  Σ_(k=0) ^(n−1)  ∫_k ^(k+1)  e^(−x)  cosk dx=Σ_(k=0) ^(n−1)  cosk[−e^(−x) ]_k ^(k+1)   = Σ_(k=0) ^(n−1)  cosk ( e^(−k)   −e^(−(k+1)) )  = Σ_(k=0) ^(n−1)   e^(−k)  cosk −Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−(k+1))  cosk ⇒  A = Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  cosk  −Σ_(k=0) ^∞  e^(−(k+1))  cosk  =Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  cosk  −e^(−1) Σ_(k=1) ^∞  e^(−k)  cosk  =Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  cosk −e^(−1) (Σ_(k=0) ^∞   e^(−k)  cosk −1)  =(1−e^(−1) )Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  cosk  +(1/e)  Σ_(k=0) ^∞   e^(−k)  cosk =Re( Σ_(k=0) ^∞  e^(−k +ik) )  Σ_(k=0) ^∞   e^((−1+i)k) = Σ_(k=0) ^∞  (e^(−1+i) )^k  = (1/(1−e^(−1+i) ))  because ∣e^(−1+i) ∣<1  = (1/(1−e^(−1) (cos(1)+i sin1))) = (1/(1−e^(−1) cos1 −i e^(−1) sin(1)))  =((1−e^(−1)  cos(1) +i e^(−1)  sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2   +e^(−2)  sin^2 (1))) ⇒  Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  cos(k) =  ((1−e^(−1)  cos(1))/(1−2 e^(−1) cos(1) +e^(−2) )) ⇒  A =(((1−e^(−1) )(1−e^(−1)  cos(1)))/(1−2 e^(−1)  cos(1) +e^(−2) ))  +(1/e) .
$${A}\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{x}} \:{cosk}\:{dx}\:{but} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{x}} \:{cosk}\:{dx}=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{cosk}\left[−{e}^{−{x}} \right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{cosk}\:\left(\:{e}^{−{k}} \:\:−{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \right) \\ $$$$=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \:{cosk}\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−\left({k}+\mathrm{1}\right)} \:{cosk} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:−{e}^{−\mathrm{1}} \sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−{e}^{−\mathrm{1}} \left(\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \right)\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{e}} \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{−{k}} \:{cosk}\:={Re}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}\:+{ik}} \right) \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} =\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left({e}^{−\mathrm{1}+{i}} \right)^{{k}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}+{i}} } \\ $$$${because}\:\mid{e}^{−\mathrm{1}+{i}} \mid<\mathrm{1} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \left({cos}\left(\mathrm{1}\right)+{i}\:{sin}\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\mathrm{1}\:−{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} {sin}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{cos}\left({k}\right)\:=\:\:\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\:{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{e}^{−\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\frac{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{2}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{e}^{−\mathrm{2}} }\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{e}}\:. \\ $$
Commented by abdo mathsup 649 cc last updated on 08/May/18
B =lim_(n→+∞)  Σ_(k=0) ^(n−1)   ∫_k ^(k+1)  e^(−k)  cosxdx  =Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k) [sinx]_k ^(k+1)   =Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k) ( sin(k+1)−sink)  =Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k)  sin(k+1) −Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k)  sink  =Σ_(k=1) ^n  e^(−(k−1)) sink −Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k)  sink  =e( Σ_(k=1) ^n  e^(−k)  sink) −Σ_(k=0) ^(n−1)  e^(−k)  sink  ⇒ B = (e−1) Σ_(k=0) ^∞  e^(−k)  sink  =(e−1) Im( Σ_(k=0) ^∞  e^(−k+ik) )  =(e−1) Im( Σ_(k=0) ^∞  e^((−1+i)k) )  Σ_(k=0) ^∞   e^((−1+i)k)  = (1/(1−e^(−1 +i) ))  = (1/(1−e^(−1) (cos1 +i sin(1))))  = (1/(1−e^(−1) cos(1) −ie^(−1)  sin(1)))  = ((1−e^(−1)  cos(1) +i e^(−1)  sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2   +e^(−2)  sin^2 (1)))  ⇒  B =(((e−1)e^(−1) sin(1))/((1−e^(−1) cos(1))^2   + e^(−2)  sin^2 (1)))  so the value of A −B is known.
$${B}\:={lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{cosxdx} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \left[{sinx}\right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:\:=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \left(\:{sin}\left({k}+\mathrm{1}\right)−{sink}\right) \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sin}\left({k}+\mathrm{1}\right)\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{e}^{−\left({k}−\mathrm{1}\right)} {sink}\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$={e}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{n}} \:{e}^{−{k}} \:{sink}\right)\:−\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$\Rightarrow\:{B}\:=\:\left({e}−\mathrm{1}\right)\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}} \:{sink} \\ $$$$=\left({e}−\mathrm{1}\right)\:{Im}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{−{k}+{ik}} \right) \\ $$$$=\left({e}−\mathrm{1}\right)\:{Im}\left(\:\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} \right) \\ $$$$\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:{e}^{\left(−\mathrm{1}+{i}\right){k}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}\:+{i}} } \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \left({cos}\mathrm{1}\:+{i}\:{sin}\left(\mathrm{1}\right)\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\:−{ie}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} \:{cos}\left(\mathrm{1}\right)\:+{i}\:{e}^{−\mathrm{1}} \:{sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)}\:\:\Rightarrow \\ $$$${B}\:=\frac{\left({e}−\mathrm{1}\right){e}^{−\mathrm{1}} {sin}\left(\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}−{e}^{−\mathrm{1}} {cos}\left(\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} \:\:+\:{e}^{−\mathrm{2}} \:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$${so}\:{the}\:{value}\:{of}\:{A}\:−{B}\:{is}\:{known}. \\ $$

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