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let-A-1-1-1-1-1-calculate-A-n-2-determine-e-A-and-e-A-

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Question Number 60501 by prof Abdo imad last updated on 21/May/19
let A = ((( 1 1)),((1 1)) ) 1)calculate A^n 2) determine e^A and e^(−A) .
$${let}\:{A}\:=\begin{pmatrix}{\:\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right){calculate}\:{A}^{{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{determine}\:{e}^{{A}} \:\:\:{and}\:{e}^{−{A}} \:. \\ $$$$ \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 21/May/19
we P_c (A) = determinant (((1−x 1)),((1 1−x)))=(1−x)^2 −1 =x^2 −2x +1−1 =x^2 −2x cayley hamilton theorem give P_c (A)=0 ⇒A^2 −2A =0 ⇒A^2 =2A ⇒ A^3 =2A^2 =2^2 A ⇒ A^n =2^(n−1) A ⇒ A^n = (((2^(n−1) 2^(n−1) )),((2^(n−1) 2^(n−1) )) ) n≥1 2) we have e^A =Σ_(n=0) ^∞ (A^n /(n!)) =I +Σ_(n=1) ^∞ (1/(n!)) (((2^(n−1) 2^(n−1) )),((2^(n−1) 2^(n−1) )) ) =I + (((Σ_(n=1) ^∞ (2^(n−1) /(n!)) Σ_(n=1) ^∞ (2^(n−1) /(n!)))),((Σ_(n=1) ^∞ (2^(n−1) /(n!)) Σ_(n=1) ^∞ (2^(n−1) /(n!)))) ) Σ_(n=1) ^∞ (2^(n−1) /(n!)) =(1/2) Σ_(n=1) ^∞ (2^n /(n!)) =(1/2){ Σ_(n=0) ^∞ (2^n /(n!)) −1} =(1/2){e^2 −1}⇒ e^A = (((1 0)),((0 1)) ) + (((((e^2 −1)/2) ((e^2 −1)/2))),((((e^2 −1)/2) ((e^2 −1)/2))) ) e^A = (((((1+e^2 )/2) ((e^2 −1)/2))),((((e^2 −1)/2) ((1+e^2 )/2))) ) also we calculate e^(−A) by folowing the same steps and use e^(−A) =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n A^n )/(n!))
$${we}\:{P}_{{c}} \left({A}\right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\\{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}−{x}}\end{vmatrix}=\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}\:+\mathrm{1}−\mathrm{1}\:={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x} \\ $$$${cayley}\:{hamilton}\:{theorem}\:{give}\:{P}_{{c}} \left({A}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow{A}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{A}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow{A}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{2}{A}\:\Rightarrow \\ $$$${A}^{\mathrm{3}} \:=\mathrm{2}{A}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:{A}\:\Rightarrow\:{A}^{{n}} \:=\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:{A}\:\Rightarrow\:{A}^{{n}} \:=\begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\end{pmatrix}\:\:\:\:\:\:{n}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\:{we}\:{have}\:\:{e}^{{A}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{A}^{{n}} }{{n}!}\:={I}\:+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{{n}!}\begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }\end{pmatrix} \\ $$$$={I}\:\:\:+\:\:\begin{pmatrix}{\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}}\\{\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}}\end{pmatrix} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{n}!}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2}^{{n}} }{{n}!}\:−\mathrm{1}\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}\Rightarrow \\ $$$${e}^{{A}} \:=\:\begin{pmatrix}{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\:+\:\:\begin{pmatrix}{\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\end{pmatrix} \\ $$$${e}^{{A}} \:=\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\frac{{e}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}\end{pmatrix} \\ $$$${also}\:{we}\:{calculate}\:{e}^{−{A}} \:\:\:\:{by}\:{folowing}\:\:\:{the}\:{same}\:{steps}\:\:\:{and}\:{use} \\ $$$${e}^{−{A}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:{A}^{{n}} }{{n}!} \\ $$
Answered by Prithwish sen last updated on 21/May/19
Is, A^n = (((2^(n−1) 2^(n−1) )),((2^(n−1) 2^(n−1) )) )
$$\mathrm{Is},\:\:\mathrm{A}^{\mathrm{n}} =\begin{pmatrix}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\\{\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\end{pmatrix} \\ $$

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