Question Number 22044 by Tinkutara last updated on 10/Oct/17
$$\mathrm{Let}\:{A}\:=\:\left\{\mathrm{1},\:\mathrm{2},\:\mathrm{3},\:…..,\:{n}\right\},\:\mathrm{if}\:{a}_{{i}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{minimum}\:\mathrm{element}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{set}\:{A};\:\left(\mathrm{where}\right. \\ $$$${A};\:\mathrm{denotes}\:\mathrm{the}\:\mathrm{subset}\:\mathrm{of}\:{A}\:\mathrm{containing} \\ $$$$\left.\mathrm{exactly}\:\mathrm{three}\:\mathrm{elements}\right)\:\mathrm{and}\:{X}\:\mathrm{denotes} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:{A}_{{i}} '\mathrm{s},\:\mathrm{then}\:\mathrm{evaluate}\:\underset{{A}_{{i}} \in{X}} {\sum}{a}. \\ $$
Answered by revenge last updated on 17/Oct/17
$${Required}\:{sum}=\mathrm{1}\centerdot^{{n}−\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\centerdot^{{n}−\mathrm{2}} {C}_{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\centerdot^{{n}−\mathrm{3}} {C}_{\mathrm{2}} +…+\left({n}−\mathrm{2}\right)\centerdot^{\mathrm{2}} {C}_{\mathrm{2}} \\ $$$${It}\:{is}\:{equal}\:{to}\:{the}\:{coefficient}\:{of}\:{x}^{\mathrm{2}} \:{in}\:{the}\:{expansion}\:{of} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{3}} +…+\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${S}=\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{3}} +…+\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{S}}{\mathrm{1}+{x}}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{3}} +…+\left({n}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} +\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right) \\ $$$${S}−\frac{{S}}{\mathrm{1}+{x}}=\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{3}} +…+\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right) \\ $$$$\frac{{Sx}}{\mathrm{1}+{x}}=\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} \left[\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]}{{x}}−\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right) \\ $$$${S}=\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}} \left[\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]}{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}} \\ $$$${S}=\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{3}} }{{x}^{\mathrm{2}} }−\left({n}−\mathrm{2}\right)\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+{x}^{\mathrm{2}} }{{x}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:{term}\:{can}\:{be}\:{only}\:{obtained}\:{from}\:\frac{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{x}^{\mathrm{2}} }.\:{So}\:{we}\:{require} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} \:{in}\:\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{{n}+\mathrm{1}} ,\:{which}\:{has}\:{the}\:{coefficient}\:^{{n}+\mathrm{1}} {C}_{\mathrm{4}} . \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 17/Oct/17
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$