Question Number 119295 by bobhans last updated on 23/Oct/20
$$\:{Let}\:{a}\:{and}\:{b}\:\:{non}\:{negative}\:{real}\:{numbers}\: \\ $$$${If}\:\mathrm{sin}\:{x}+{a}\mathrm{cos}\:{x}={b}\:,\:{express}\: \\ $$$$\mid\:{a}\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\mid\:{in}\:{terms}\:{of}\:{a}\:{and}\:{b}. \\ $$$$ \\ $$
Answered by bemath last updated on 23/Oct/20
$${consider}\:{relations}\:{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:=\:\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}={a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\left({a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{2}{a}\mathrm{sin}\:{x}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}\right)+ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{2}{a}\mathrm{cos}\:{x}\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\left({a}\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} +\left({a}\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left({a}\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:{a}\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\:=\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mid{a}\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}\mid\:=\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\: \\ $$$$ \\ $$
Commented by bobhans last updated on 23/Oct/20
$${great}! \\ $$