Question Number 155547 by mathdanisur last updated on 02/Oct/21
$$\mathrm{let}\:\:\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}>\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{min}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{expression}: \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\mathrm{abc}\:+\:\left(\mathrm{a}-\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{b}-\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{c}-\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by ghimisi last updated on 02/Oct/21
$${p}=\mathrm{3} \\ $$$${p}^{\mathrm{3}} \geqslant\mathrm{27}{r}\Rightarrow{r}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$${schur}\Rightarrow{p}^{\mathrm{3}} +\mathrm{9}{r}\geqslant\mathrm{4}{pq}\Rightarrow\mathrm{3}{r}−\mathrm{4}{q}\geqslant−\mathrm{9} \\ $$$${S}={r}+{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({a}+{b}+{c}\right)+\mathrm{3} \\ $$$${S}={r}+{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{q}−\mathrm{2}{p}+\mathrm{3}=\mathrm{6}+{r}−\mathrm{2}{q} \\ $$$$\mathrm{2}{S}=\mathrm{12}+\mathrm{3}{r}−\mathrm{4}{q}−{r}\geqslant\mathrm{12}−\mathrm{9}−\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{minS}=\mathrm{1}\:\:\:\left({a}={b}={c}=\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 02/Oct/21
$$\mathrm{Very}\:\mathrm{nice}\:\boldsymbol{\mathrm{S}}\mathrm{er},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{so}\:\mathrm{much} \\ $$