Question Number 144901 by loveineq last updated on 30/Jun/21
$$\mathrm{Let}\:{a},{b}\:>\:\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:{a}+{b}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{3}{ab}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{a}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{b}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\leqslant\:\mathrm{1}\:\leqslant\:\frac{{a}^{\mathrm{3}} }{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{{b}^{\mathrm{3}} }{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:{a},{b}\:>\:\mathrm{0},\:{n}\:\in\:\mathbb{Z}^{+} \:\mathrm{and}\:{a}+{b}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{3}{ab}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{or}\:\mathrm{disprove} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{a}^{{n}−\mathrm{1}} }{{a}^{{n}} +\mathrm{1}}+\frac{{b}^{{n}−\mathrm{1}} }{{b}^{{n}} +\mathrm{1}}\:\leqslant\:\mathrm{1}\:\leqslant\:\frac{{a}^{{n}+\mathrm{1}} }{{a}^{{n}} +\mathrm{1}}+\frac{{b}^{{n}+\mathrm{1}} }{{b}^{{n}} +\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$