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let-A-n-0-2npi-dx-2-cosx-2-explicit-A-n-and-determine-nature-of-serie-A-n-

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Question Number 145514 by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/21
let A_n =∫_0 ^(2nπ) (dx/((2+cosx)^2 )) explicit A_n and determine nature of serie Σ A_n
$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2n}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{explicit}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie}\:\Sigma\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jul/21
let f(a)=∫_0 ^(2nπ) (dx/(a+cosx)) ⇒f^′ (a)=−∫_0 ^(2nπ) (dx/((a+cosx)^2 )) ⇒ ∫_0 ^(2nπ) (dx/((2+cosx)^2 ))=−f^′ (2) we have f(a)=Σ_(k=0) ^(n−1) ∫_(2kπ) ^(2(k+1)π) (dx/(a+cosx)) =_(x=2kπ+t) Σ_(k=0) ^(n−1) ∫_0 ^(2π) (dt/(a+cost)) =n∫_0 ^(2π) (dt/(a+cost)) we have ∫_0 ^(2π) (dt/(a+cost)) =_(e^(it) =z) ∫_(∣z∣=1) (dz/(iz(a+((z+z^(−1) )/2)))) =∫_(∣z∣=1) ((−2idz)/((2a+z+z^(−1) )z)) =∫_(∣z∣=1) ((−2idz)/(z^2 +2az+1)) =∫_(∣z∣=1) ϕ(z)dz Δ^′ =a^2 −1>0 (a>1) ⇒z_1 =−a+(√(a^2 −1)) and z_2 =−a−(√(a^2 −1)) ∣z_1 ∣−1=(√(a^2 −1))−a−1 =(√(a^2 −1))−(a+1)<0 ⇒∣z_1 ∣<1 ∣z_2 ∣−1=a+(√(a^2 −1))−1 =a−1+(√(a^2 −1))>0 ⇒∣z_2 ∣>1 residus theorem give ∫_(∣z∣=1) ϕ(z)dz=2iπ Res(ϕ,z_1 ) we have ϕ(z)=((−2i)/((z−z_1 )(z−z_2 ))) ⇒Res(ϕ,z_1 )=((−2i)/(z_1 −z_2 ))=((−2i)/(2(√(a^2 −1)))) ⇒ ∫_(∣z∣=1) ϕ(z)dz=2iπ×((−i)/( (√(a^2 −1))))=((2π)/( (√(a^2 −1)))) ⇒ f(a)=((2nπ)/( (√(a^2 −1))))=2nπ(a^2 −1)^(−(1/2)) ⇒ f^′ (a)=2nπ(−(1/2))(2a)(a^2 −1)^(−(3/2)) =−2nπa(a^2 −1)^(−(3/2)) =−((2nπa)/((a^2 −1)(√(a^2 −1)))) ⇒ f^′ (2)=((−4nπ)/(3(√3))) ⇒ A_n =−f^′ (2)=((4nπ)/(3(√3))) A_n →+∞ ⇒Σ A_n is divergent ...!
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2n}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{cosx}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2n}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2n}\pi} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\int_{\mathrm{2k}\pi} ^{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\pi} \:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}+\mathrm{cosx}} \\ $$$$=_{\mathrm{x}=\mathrm{2k}\pi+\mathrm{t}} \:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}+\mathrm{cost}}\:=\mathrm{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}+\mathrm{cost}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}\pi} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}+\mathrm{cost}}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{it}} =\mathrm{z}} \int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{dz}}{\mathrm{iz}\left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{2idz}}{\left(\mathrm{2a}+\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} \right)\mathrm{z}}\:=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{2idz}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2az}+\mathrm{1}}\:=\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\:\:\:\left(\mathrm{a}>\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid−\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{a}−\mathrm{1}\:\:=\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid<\mathrm{1} \\ $$$$\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid−\mathrm{1}=\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\mathrm{1}\:=\mathrm{a}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid>\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give}\:\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{−\mathrm{2i}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)=\frac{−\mathrm{2i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{2i}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}} \:\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi×\frac{−\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{2n}\pi}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}=\mathrm{2n}\pi\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{2n}\pi\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{2a}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=−\mathrm{2n}\pi\mathrm{a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:=−\frac{\mathrm{2n}\pi\mathrm{a}}{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{2}\right)=\frac{−\mathrm{4n}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =−\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{2}\right)=\frac{\mathrm{4n}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \rightarrow+\infty\:\Rightarrow\Sigma\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{divergent}\:…! \\ $$

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