Question Number 38100 by maxmathsup by imad last updated on 21/Jun/18
$${let}\:{A}_{{n}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left({x}−\left[{x}\right]\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{A}_{{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{find}\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{A}_{{n}} \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 22/Jun/18
$${A}_{{n}} =\:\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left(\:{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{x}\left[{x}\right]\:+\left[{x}\right]^{\mathrm{2}} \right){dx} \\ $$$$=\:\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}^{\mathrm{2}} {dx}\:\:−\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}\left[{x}\right]{dx}\:\:+\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:\left[{x}\right]^{\mathrm{2}} {dx}\:{but} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}\left[{x}\right]{dx}=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{kx}\:{dx} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k}\:\left(\:\frac{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:−\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k}\frac{{k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{k}\:+\mathrm{1}−{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k}\left(\:{k}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k} \\ $$$$\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right){n}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left\{\:\:\frac{\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left\{\:\frac{\mathrm{4}{n}−\mathrm{2}\:+\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{12}}\:{also} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:{x}^{\mathrm{2}} {dx}\:=\left[\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \:\left[{x}\right]^{\mathrm{2}} {dx}\:=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:{dx} \\ $$$$=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:{k}^{\mathrm{2}} \:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$${A}_{{n}} \:=\:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:\:\:−\mathrm{2}\:\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{12}}\:\:+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4}{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$${A}_{{n}} \:=\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{lim}_{{n}\rightarrow+\infty} \:{A}_{{n}} =+\infty \\ $$