let-C-z-z-1-calculste-C-tanz-dz-

Question Number 125505 by mathmax by abdo last updated on 11/Dec/20

$$\mathrm{let}\:\mathrm{C}=\left\{\mathrm{z}/\mid\mathrm{z}\mid=\mathrm{1}\right\}\:\mathrm{calculste}\:\int_{\mathrm{C}} \mathrm{tanz}\:\mathrm{dz} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Dec/20

∫_C tanz dx =∫_C ((sinz)/(cosz))dz =_(e^(iz) =w) ∫_(∣w∣=1) (((w−w^(−1) )/(2i))/((w+w^(−1) )/2))(dw/(iw)) =(1/i)∫_(∣w∣=1) ((w−w^(−1) )/(iw(w+w^(−1) )))dw=−∫_(∣w∣=1) ((w−w^(−1) )/(w^2 +1))dw =−∫_(∣w∣=1) ((w^2 −1)/(w(w^2 +1)))dw let ϕ(w)=((w^2 −1)/(w(w^2 +1))) the poles of w are 0=i and −i ⇒∫_(∣w∣=1) ϕ(w)dw=2iπ{Res(ϕ,o)+Res(ϕ,i)+Res(ϕ,−i)} Res(ϕ,o)=−1 and Res(ϕ,i)=((−2)/(i(2i)))=1 Res(ϕ,−i) =((−2)/(−i(−2i)))=((−2)/(−2))=1 ⇒ ∫_C tanz dz =−2iπ{−1+1+1} =−2iπ

$$\int_{\mathrm{C}} \mathrm{tanz}\:\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{C}} \frac{\mathrm{sinz}}{\mathrm{cosz}}\mathrm{dz}\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} \:=\mathrm{w}} \:\:\:\int_{\mid\mathrm{w}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\frac{\mathrm{w}−\mathrm{w}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2i}}}{\frac{\mathrm{w}+\mathrm{w}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}}\frac{\mathrm{dw}}{\mathrm{iw}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}}\int_{\mid\mathrm{w}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{w}−\mathrm{w}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{iw}\left(\mathrm{w}+\mathrm{w}^{−\mathrm{1}} \right)}\mathrm{dw}=−\int_{\mid\mathrm{w}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{w}−\mathrm{w}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dw} \\ $$$$=−\int_{\mid\mathrm{w}\mid=\mathrm{1}} \:\:\:\frac{\mathrm{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{w}\left(\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dw}\:\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{w}\right)=\frac{\mathrm{w}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{w}\left(\mathrm{w}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\mathrm{w} \\ $$$$\mathrm{are}\:\mathrm{0}=\mathrm{i}\:\mathrm{and}\:−\mathrm{i}\:\Rightarrow\int_{\mid\mathrm{w}\mid=\mathrm{1}} \:\:\varphi\left(\mathrm{w}\right)\mathrm{dw}=\mathrm{2i}\pi\left\{\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{o}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)+\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{i}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{o}\right)=−\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{i}\left(\mathrm{2i}\right)}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,−\mathrm{i}\right)\:=\frac{−\mathrm{2}}{−\mathrm{i}\left(−\mathrm{2i}\right)}=\frac{−\mathrm{2}}{−\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{C}} \mathrm{tanz}\:\mathrm{dz}\:=−\mathrm{2i}\pi\left\{−\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right\}\:=−\mathrm{2i}\pi \\ $$

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