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let-f-x-1-2-cosx-2-developp-f-at-fourier-serie-

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Question Number 144219 by Mathspace last updated on 23/Jun/21
let f(x)=(1/((2+cosx)^2 )) developp f at fourier serie
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}+{cosx}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${developp}\:{f}\:{at}\:{fourier}\:{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jun/21
let ϕ(a)=(1/(a+cosx)) with a>1 ⇒ϕ^′ (a)=−(1/((a+cosx)^2 )) ⇒ (1/((2+cosx)^2 ))=−ϕ^′ (2) we have ϕ(a)=(1/(a+((e^(ix) +e^(−ix) )/2))) =_(e^(ix) =z) (2/(2a+z+z^(−1) ))=((2z)/(2az +z^2 +1))=((2z)/(z^2 +2az +1)) Δ^′ =a^2 −1>0 ⇒z_1 =−a+(√(a^2 −1)) and z_2 =−a−(√(a^2 −1)) ⇒ϕ(a)=((2z)/((z−z_1 )(z−z_2 )))=2z((1/(z−z_1 ))−(1/(z−z_2 )))×(1/(2(√(a^2 −1)))) =(1/( (√(a^2 −1))))(((z−z_1 +z_1 )/(z−z_1 ))−((z−z_2 +z_2 )/(z−z_2 ))) =(1/( (√(a^2 −1))))((z_1 /(z−z_1 ))−(z_2 /(z−z_2 )))=(1/( (√(a^2 −1))))((1/((z/z_1 )−1))−(1/((z/z_2 )−1))) =(1/( (√(a^2 −1))))((1/(1−(z/z_2 )))−(1/(1−(z/z_1 )))) ∣(z/z_1 )∣−1=(1/(∣z_1 ∣))−1=(1/(a−(√(a^2 −1))))−1=((1−a+(√(a^2 −1)))/((...))) =(((√(a^2 −1))−(a−1))/((...))) and a^2 −1−(a−1)^2 =a^2 −1−a^2 −1+2a=2a−2>0 ∣(z/z_2 )∣−1=(1/(a+(√(a^2 −1))))−1 =((1−a−(√(a^2 −1)))/((...)))<0 ⇒ ϕ(a)=(1/( (√(a^2 −1))))((z_1 /(z(1−(z_1 /z))))+(1/(1−(z/z_2 )))) =(1/( (√(a^2 −1))))((z_1 /z)Σ_(n=0) ^∞ (z_1 ^n /z^n )+Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_2 ^n )) =((z_1 e^(−ix) )/( (√(a^2 −1))))Σ_(n=0) ^∞ (−a+(√(a^2 −1)))^n e^(−inx) +(1/( (√(a^2 −1))))Σ_(n=0) ^∞ (−a−(√(a^2 −1)))^n e^(inx) rest tocalculate ϕ^′ (a).....be continued....
$$\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{cosx}}\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\varphi^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }=−\varphi^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\varphi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} =\mathrm{z}} \:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2a}+\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{2z}}{\mathrm{2az}\:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{2z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2az}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}=\mathrm{2z}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} +\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }}\right) \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\left(…\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)}{\left(…\right)}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{2a}=\mathrm{2a}−\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\mid−\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\left(…\right)}<\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{z}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{a}−\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{tocalculate}\:\varphi^{'} \left(\mathrm{a}\right)…..\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$

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