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let-F-x-1-x-1-5-2x-3-4-1-find-F-x-dx-2-en-deduire-la-decomposition-de-F-en-element-simples-

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Question Number 147683 by mathmax by abdo last updated on 22/Jul/21
let F(x)=(1/((x+1)^5 (2x−3)^4 )) 1) find ∫ F(x)dx 2)en deduire la decomposition de F en element simples
$$\mathrm{let}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{find}\:\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{en}\:\mathrm{deduire}\:\mathrm{la}\:\mathrm{decomposition}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F}\:\mathrm{en}\:\mathrm{element}\:\mathrm{simples} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
1) I=∫ (dx/((x+1)^5 (2x−3)^4 )) ⇒I=∫ (dx/((((x+1)/(2x−3)))^5 (2x−3)^9 )) changement ((x+1)/(2x−3))=t give x+1=2tx−3t ⇒(1−2t)x=−1−3t ⇒ x=((3t+1)/(2t−1)) ⇒(dx/dt)=((3(2t−1)−2(3t+1))/((2t−1)^2 ))=((−5)/((2t−1)^2 )) 2x−3=((6t+2)/(2t−1))−3 =((6t+2−6t+3)/(2t−1))=(5/(2t−1)) ⇒ I(x)=∫ ((−5)/((2t−1)^2 t^5 ((5/(2t−1)))^9 ))dt =−(1/5^8 )∫ (((2t−1)^9 )/((2t−1)^2 t^5 ))dt =−(1/5^8 )∫ (((2t−1)^7 )/t^5 )dt =−(1/5^8 )∫ ((Σ_(k=0) ^7 C_7 ^k (2t)^k (−1)^(7−k) )/t^5 )dt =(1/5^8 )∫ Σ_(k=0) ^7 C_7 ^k (−2)^k t^(k−5) dt =(1/5^8 )Σ_(k=0) ^7 (−2)^k C_7 ^k ∫ t^(k−5 ) dt =(1/5^8 )Σ_(k=0and k≠4) ^7 (−2)^k C_7 ^k ×(1/(k−4))t^(k−4) +(1/5^8 )(−2)^4 C_7 ^4 log∣t∣ +C I(x)=(1/5^8 )Σ_(k=0 and k≠4) ^7 (((−2)^k )/(k−4))C_7 ^k (((x+1)/(2x−3)))^(k−4) +(2^4 /5^8 )C_7 ^4 log∣((x+1)/(2x−3))∣ +C
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{I}=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} }\:\Rightarrow\mathrm{I}=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} \left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{9}} } \\ $$$$\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}=\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{2tx}−\mathrm{3t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−\mathrm{2t}\right)\mathrm{x}=−\mathrm{1}−\mathrm{3t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{3t}+\mathrm{1}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{3t}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{−\mathrm{5}}{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{2x}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{6t}+\mathrm{2}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\:=\frac{\mathrm{6t}+\mathrm{2}−\mathrm{6t}+\mathrm{3}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\int\:\:\:\:\:\frac{−\mathrm{5}}{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{5}} \left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2t}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{9}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\int\:\:\frac{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{9}} }{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\int\:\:\:\frac{\left(\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\int\:\:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{2t}\right)^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{7}−\mathrm{k}} }{\mathrm{t}^{\mathrm{5}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\int\:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \:\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{5}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{7}} \:\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \:\int\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{5}\:} \mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{7}} \:\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \:×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} \:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{4}} \:\mathrm{log}\mid\mathrm{t}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{7}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}−\mathrm{4}}\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{4}} \:\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 23/Jul/21
F(x)=(dI/dx)(x) =(1/5^8 )Σ_(k=0and k≠4) ^7 (−2)^k C_7 ^k (((x+1)/(2x−3)))^′ (((x+1)/(2x−3)))^(k−5) +(2^4 /5^8 )C_7 ^4 (((((x+1)/(2x−3)))^′ )/((x+1)/(2x−3))) =−(1/5^7 )Σ_(k=0andk≠4) ^7 (−2)^(k ) C_7 ^k (((x+1)^(k−5) )/((2x−3)^(k−3) )) −(2^4 /5^7 )C_7 ^4 ((2x−3)/(x+1))×(1/((2x−3)^2 )) ....be continued....
$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0and}\:\mathrm{k}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{7}} \:\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)^{'} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{5}} \:+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{5}^{\mathrm{8}} }\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}\right)^{'} }{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{7}} }\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0andk}\neq\mathrm{4}} ^{\mathrm{7}} \:\:\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{k}\:} \:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{5}} }{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{5}^{\mathrm{7}} }\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$

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