Question Number 55269 by maxmathsup by imad last updated on 20/Feb/19
$${let}\:{f}\left({x}\right)\:=\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{calculate}\:{f}^{\left({n}\right)} \left({x}\right)\:{and}\:{f}^{\left({n}\right)} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){developp}\:{f}\:{at}\:{integr}\:{serie}. \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {f}\left({x}\right){dx}\:. \\ $$
Commented by turbo msup by abdo last updated on 02/Mar/19
$$\left.\mathrm{1}\right){leibniz}\:{gormula}\:{give} \\ $$$${f}^{\left({n}\right)} \left({x}\right)=\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{{n}} \:{C}_{{n}} ^{{k}} \left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\left({k}\right)} \left({ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left({n}−{k}\right)} \right. \\ $$$$=\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left({ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left({n}\right)} \:+\mathrm{2}{n}\left({ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \right.\right. \\ $$$${we}\:{have}\:{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{−\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\left({ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left({n}\right)} \:=\left(−\frac{\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \right. \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \:=\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \:+\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} }\:+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{{n}} } \\ $$
Commented by turbo msup by abdo last updated on 02/Mar/19
$${also}\:\left({ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)^{\left({n}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\:+\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{\left({n}\right)} \left({x}\right)\:=\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{{n}} }\right\} \\ $$$$+\mathrm{2}{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }\right\} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 02/Mar/19
$$\Rightarrow{f}^{\left({n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\left\{\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\:+\mathrm{2}{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} \right\} \\ $$$$=−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{1}\right)!\left\{\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\:+\mathrm{2}{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{\left({n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\:+\mathrm{2}{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\left(\mathrm{1}−{n}\right)\left(\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right)\:+\mathrm{2}{n}\left\{\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\right\} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} −{n}−{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:+\mathrm{2}{n}−\mathrm{2}{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\} \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({n}−\mathrm{2}\right)!\left\{\:\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:+{n}\right\} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 02/Mar/19
$${f}^{'} \left({x}\right)=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} \right)\:+\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\frac{−\mathrm{2}{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{f}^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:{and}\:{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{f}^{\left({n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{{n}!}\:{x}^{{n}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}\left\{{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \right\}\:{x}^{{n}} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\:\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} +\mathrm{1}−\mathrm{3}{n}}{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{x}^{{n}} \\ $$