Question Number 146548 by mathmax by abdo last updated on 13/Jul/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cos}\left(\alpha\mathrm{x}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie}\:\:\left(\alpha\:\mathrm{real}\right) \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 14/Jul/21
$${a}_{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{+\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} {f}\left({x}\right){dx} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\int_{−\pi} ^{+\pi} \mathrm{cos}\left(\alpha{x}\right){dx} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi\alpha}\left[\mathrm{sin}\left(\alpha{x}\right)\right]_{−\pi} ^{+\pi} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)}{\pi\alpha} \\ $$$${a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{+\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} {f}\left({x}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi{nx}}{\mathrm{T}}\right){dx} \\ $$$${a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{+\pi} \mathrm{cos}\left(\alpha{x}\right)\mathrm{cos}\left({nx}\right){dx} \\ $$$${a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{+\pi} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{cos}\left(\left(\alpha−{n}\right){x}\right)−\mathrm{cos}\left(\left(\alpha+{n}\right){x}\right)\right]{dx} \\ $$$${a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\left(\alpha−{n}\right){x}\right)}{\alpha−{n}}−\frac{\mathrm{sin}\left(\left(\alpha+{n}\right){x}\right)}{\alpha+{n}}\right]_{−\pi} ^{+\pi} \\ $$$${a}_{{n}} \:=\:\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\left(\alpha−{n}\right)\right)}{\pi\left(\alpha−{n}\right)}−\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\left(\alpha+{n}\right)\right)}{\pi\left(\alpha+{n}\right)} \\ $$$${b}_{{n}} \:=\:\mathrm{0}\:\left({f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jul/21
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\mathrm{cos}\left(\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}+\alpha\right)\mathrm{x}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}−\alpha\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}+\alpha\right)\mathrm{x}}{\mathrm{n}+\alpha}\:+\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}−\alpha\right)\mathrm{x}}{\mathrm{n}−\alpha}\right]_{\mathrm{0}} ^{\pi} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}\pi+\alpha\pi\right)}{\mathrm{n}+\alpha}\:+\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}\pi−\alpha\pi\right)}{\mathrm{n}−\alpha} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\alpha}\mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}−\alpha}\mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)\:=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\alpha}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}−\alpha}\right\} \\ $$$$=−\mathrm{2}\alpha\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)/\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\pi}\left(−\mathrm{2}\alpha\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)/_{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} } \right. \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\pi}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)/\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{o}} =\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\mathrm{cos}\left(\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{2}}{\pi\alpha}\mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\alpha\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)}{\pi\alpha}\:−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\pi}\mathrm{sin}\left(\pi\alpha\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} }\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\:\:\:\left(\alpha\:\in\mathrm{R}−\mathrm{Z}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{this}\:\mathrm{remark}…\mathrm{x}=\pi\:\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\alpha\pi\right)=\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)}{\alpha\pi}−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\pi}\mathrm{sin}\left(\alpha\pi\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cotan}\left(\alpha\pi\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\alpha\pi}−\frac{\mathrm{2}\alpha}{\pi}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\alpha^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\alpha\pi\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{cotan}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}−\frac{\mathrm{2}}{\pi}.\frac{\mathrm{t}}{\pi}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\pi^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{cotant}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \pi^{\mathrm{2}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{cotant}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$