Question Number 40115 by maxmathsup by imad last updated on 15/Jul/18
$${let}\:{f}\left({x}\right)=\:\frac{{e}^{{x}} −\mathrm{1}}{{x}}\:\:{if}\:{x}\neq\mathrm{0}\:\:{and}\:{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$${give}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {f}\left({x}\right){dx}\:{at}\:{form}\:{of}\:{serie}. \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 21/Jul/18
$${we}\:{have}\:{e}^{{x}} \:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:=\mathrm{1}+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:\Rightarrow{e}^{{x}} −\mathrm{1}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}!}\:\Rightarrow{forx}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{e}^{{x}} \:−\mathrm{1}}{{x}}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{{x}^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}!}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{e}^{{x}} \:−\mathrm{1}}{{x}}{dx}\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}!}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:{x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx} \\ $$$$=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}!\right)}\:.\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}!\right)}\:. \\ $$
Commented by prof Abdo imad last updated on 22/Jul/18
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {f}\left({x}\right){dx}=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{1}}{{n}\left({n}!\right)} \\ $$