Question Number 65285 by mathmax by abdo last updated on 27/Jul/19
$${let}\:{f}\left({x}\right)\:={e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } {ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right) \\ $$$${developp}\:{f}\:{at}\:{integr}\:{serie}. \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/19
$${we}\:{have}\:{e}^{−{x}^{\mathrm{2}} } =\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(−{x}^{\mathrm{2}} \right)^{{n}} }{{n}!}\:=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}!} \\ $$$${ln}^{'} \left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:{x}^{{n}} \:\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}+\mathrm{1}}\:+{c} \\ $$$$\left({c}=\mathrm{0}\right)\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=−\left(\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}!}\right)\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\right) \\ $$$$=−\left(\mathrm{1}+\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \:{x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}!}\right)\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\right) \\ $$$$−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:−\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {x}^{\mathrm{2}{n}} }{{n}!}\right)\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\right) \\ $$$$\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:{a}_{{n}} \right)\left(\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} {b}_{{n}} \right)\:=\Sigma\:{c}_{{n}} \:\:\:{with}\:{c}_{{n}} =\sum_{{i}+{j}={n}} \:{a}_{{i}} {b}_{{j}} \:\:\:=\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}−\mathrm{1}} {a}_{{i}} {b}_{{n}−{i}} \\ $$$$=\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}} {x}^{\mathrm{2}{i}} }{{i}!}\:\frac{{x}^{{n}−{i}} }{\left({n}−{i}\right)}\:=\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}} }{\left({n}−{i}\right){i}!}\:{x}^{{n}+{i}} \:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left\{\sum_{{i}=\mathrm{1}} ^{{n}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{i}} }{\left({n}−{i}\right){i}!}{x}^{{n}+{i}} \right\}−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{{x}^{{n}} }{{n}}\:. \\ $$$$ \\ $$