Menu Close

Let-f-x-e-x-cos-x-Find-n-0-f-n-x-2-n-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 145339 by qaz last updated on 04/Jul/21
Let f(x)=e^x cos x,Find Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (x))/2^n )=?
$$\mathrm{Let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{x},\mathrm{Find}\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Jul/21
f(x)=e^x cosx ⇒f^((n)) (x)=Σ_(k=0) ^n C_n ^k (cosx)^((k)) (e^x )^((n−k)) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k cos(x+((kπ)/2))e^x ⇒ Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (x))/2^n )=e^x Σ_(n=0) ^∞ (1/2^n )(Σ_(k=0) ^n C_n ^k cos(x+((kπ)/2))) Σ_(k=0) ^n C_n ^k cos(x+((kπ)/2))=Re(Σ_(k=0) ^n C_n ^k e^(i(x+((kπ)/2))) ) Σ_(k=0) ^n (...)=e^(ix) Σ_(k=0) ^n C_n ^k (i)^k =e^(ix) (1+i)^n =e^(ix) ((√2))^n (e^((iπ)/4) )^n =((√2))^n e^(ix) e^((inπ)/4) =((√2))^n e^(i(x+((nπ)/4))) ⇒Σ_(k=0) ^n C_n ^k cos(x+((kπ)/2))=((√2))^n cos(x+((nπ)/4)) ⇒ Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (x))/2^n )=e^x Σ_(n=0) ^∞ (((√2)/2))^n cos(x+((nπ)/4)) Σ_(n=0) ^∞ ((1/( (√2))))^n cos(x+((nπ)/4))=Re(Σ_(n=0) ^∞ ((1/( (√2))))^n e^(i(x+((nπ)/4)) )) Σ(...)=e^(ix) Σ_(n=0) ^∞ ((1/( (√2))))^n (e^((iπ)/4) )^n =e^(ix) Σ_(n=0) ^∞ ((e^((iπ)/4) /( (√2))))^n =e^(ix) ×(1/(1−(1/( (√2)))e^((iπ)/4) )) =(((√2)e^(ix) )/( (√2)−(1/( (√2)))−(i/( (√2)))))=((2e^(ix) )/(1−i))=((2e^(ix) (1+i))/2) =e^(ix) (√2)e^((iπ)/4) =(√2)e^(i(x+(π/4))) ⇒Re(....)=(√2)cos(x+(π/4)) ⇒ Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (x))/2^n )=(√2)e^x cos(x+(π/4))
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cosx}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{cosx}\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)} \right) \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\left(…\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{i}\right)^{\mathrm{k}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{\mathrm{n}} \:=\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{in}\pi}{\mathrm{4}}} \:=\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{4}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)=\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{4}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\left.\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{4}}\right)=\mathrm{Re}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{n}\pi}{\mathrm{4}}\right.} \right)\right) \\ $$$$\Sigma\left(…\right)=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} } \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}=\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{ix}} }{\mathrm{1}−\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{2e}^{\mathrm{ix}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)} \:\Rightarrow\mathrm{Re}\left(….\right)=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *