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let-f-x-ln-1-sinx-developp-f-at-fourier-serie-

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Question Number 96955 by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
let f(x) =ln(1+sinx) developp f at fourier serie
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)\: \\ $$$$\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Jun/20
f(x) =ln(1+sinx) ⇒f^′ (x) =((cosx)/(1+sinx)) =(((e^(ix) +e^(−ix) )/2)/(1+((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i)))) =i((e^(ix) +e^(−ix) )/(2i +e^(ix) −e^(−ix) )) =_(e^(ix) =z) i((z+z^(−1) )/(2i+z−z^(−1) )) =i×((z^2 +1)/(2iz +z^2 −1)) =i×((z^2 +1)/(z^2 +2iz −1)) =i ((z^2 +1)/((z+i)^2 )) =i ((z^2 +1)/(−(1−iz)^2 )) =−i((z^2 +1)/((1−iz)^2 )) we have (1/(1−iz)) =Σ_(n=0) ^∞ (iz)^n =Σ_(n=0) ^∞ i^n z^n ⇒(i/((1−iz)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ ni^n z^(n−1) ⇒ f^′ (x) =−i(z^2 +1)Σ_(n=1) ^∞ ni^n z^(n−1) =−(z^2 +1)Σ_(n=1) ^∞ n i^(n+1) z^(n−1) =−Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) z^(n+1) −Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) z^(n−1) =−Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) e^(i(n+1)x) −Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) e^(i(n−1)x) =−Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) {cos(n+1)x +isin(n+1)x}−Σ_(n=1) ^∞ ni^(n+1) {cos(n−1)x+isin(n−1)x} =−Σ_(n=1) ^∞ n i^(n+1) ( cos(n+1)x+cos(n−1)x)+Σ_(n=1) ^∞ ni^n (sin(n+1)x+sin(n−1)x) =−Σ_(n=1) ^∞ (2n)(−1)^n i(cos(2n+1)x+cos(2n−1)x) +Σ_(n=0) ^∞ (2n+1)(−1)^n (cos(2n+2)x +cos(2nx))+Σ_(n=1) ^∞ (2n)(−1)^n (sin(2n+1)x+sin(2n−1)x) +Σ_(n=0) ^∞ (2n+1)(−1)^n i{sin(2n+2)x +sin(2n)x} f^′ (x) is tlreal ⇒f^′ (x)=Σ_(n=0) ^∞ (2n+1)(−1)^n {cos(2n+2)x +cos(2nx)} +Σ_(n=1) ^∞ (2n)(−1)^n {sin(2n+1)x) +sin(2n−1)x} ⇒ f(x) =Σ_(n=0) ^∞ (2n+1)(−1)^n {(1/(2n+2))sin(2n+2)x+(1/(2n))sin(2nx)} +Σ_(n=1) ^∞ (2n)(−1)^n {−(1/(2n+1)) cos(2n+1)x −(1/(2n−1)) cos(2n−1)x} +C rest to find C....be continued....
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{sinx}}\:=\frac{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}} \\ $$$$=\mathrm{i}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} =\mathrm{z}} \:\:\mathrm{i}\frac{\mathrm{z}+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{2i}+\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }\:=\mathrm{i}×\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{2iz}\:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{i}×\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2iz}\:−\mathrm{1}}\:=\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{−\left(\mathrm{1}−\mathrm{iz}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{i}\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{iz}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{iz}}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{iz}\right)^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{i}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\frac{\mathrm{i}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{iz}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\mathrm{i}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{z}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{isin}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right\}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{isin}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right\} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\mathrm{i}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ni}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{sin}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{i}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)\right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\mathrm{2n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{i}\left\{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}\right)\mathrm{x}\right\} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{tlreal}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2nx}\right)\right\} \\ $$$$\left.+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{2nx}\right)\right\} \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2n}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right\}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{C}….\mathrm{be}\:\mathrm{continued}…. \\ $$$$ \\ $$

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