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let-f-x-ln-2-cosx-developp-f-at-fourier-serie-

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Question Number 96655 by mathmax by abdo last updated on 03/Jun/20
let f(x) =ln(2+cosx) developp f at fourier serie
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{cosx}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Jun/20
f(x) =ln(2+cosx) ⇒f^′ (x) =((−sinx)/(2+cosx)) =−(((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i))/(2+((e^(ix) +e^(−ix) )/2))) =−(1/i) ×((e^(ix) −e^(−ix) )/(4 +e^(ix) +e^(−ix) )) changement e^(ix) =z give f^′ (x) =i×((z−z^(−1) )/(4+z +z^(−1) )) =i×((z^2 −1)/(4z +z^2 +1)) =i×((z^2 −1)/(z^2 +4z +1)) let decompose u(z) =((z^2 −1)/(z^2 +4z +1)) z^2 +4z +1 =0→Δ^′ =4−1 =3 ⇒z_1 =−2+(√3) and z_2 =−2−(√3) u(z) =((z^2 +4z+1−4z−2)/(z^2 +4z +1)) =1−((4z+2)/(z^2 +4z +1)) =1−((4z+2)/((z−z_1 )(z−z_2 ))) =1−(a/(z−z_1 ))−(b/(z−z_2 )) a =((4z_1 +2)/(z_1 −z_2 )) =((−8+4(√3)+2)/(2(√3))) =((−6+4(√3))/(2(√3))) =((−3+2(√3))/( (√3))) =−(√3)+2 b =((4z_2 +2)/(−2(√3))) =((−8−4(√3)+2)/(−2(√3))) =((−6−4(√3))/(−2(√3))) =((3+2(√3))/( (√3))) =(√3) +2 ⇒ f^′ (x) =i {1−((2−(√3))/(z−z_1 )) −((2+(√3))/(z−z_2 ))} =i −(2−(√3))i×(1/(z−z_1 )) −(2+(√3))i×(1/(z−z_2 )) =i +(((2−(√3))i)/(z_1 −z)) +(((2+(√3))i)/(z_2 −z)) =i +(((2−(√3))i)/z_1 )×(1/(1−(z/z_1 ))) +(((2+(√3))i)/z_2 )×(1/(1−(z/z_2 ))) =i −i×(1/(1−(z/z_1 ))) −i×(1/(1−(z/z_2 ))) so if ∣z∣<inf(∣z_1 ∣,∣z_2 ∣) we get f^′ (x) =i−i Σ_(n=0) ^∞ (z^n /z_1 ^n ) −iΣ_(n=0) ^∞ (z^n /z_2 ^n ) =i−iΣ_(n=0) ^∞ ((1/z_1 ^n )+(1/z_2 ^n ))z^n =i−iΣ_(n=0) ^∞ (((z_1 ^n +z_2 ^n )/((z_1 z_2 )^n )))z^n =i−i Σ_(n=0) ^∞ { (((−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n )/(−1))}z^n =i +i Σ_(n=0) ^∞ {(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n }z^n ⇒ =i+iΣ_(n=0) ^∞ {(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n }e^(inx) ⇒ =i +i Σ_(n=) ^∞ {(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n }(cos(nx)+i sin(nx)} f^′ (x)real ⇒f^′ (x) =−Σ_(n=0) ^∞ {(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n }sin(nx) ⇒ f(x) =Σ_(n=0) ^∞ ((((−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n )cos(nx))/n) +c f(π) =0 =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/n){(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n } +c ⇒ c =−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/n)((−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n ⇒ f(x) =Σ_(n=0) ^∞ (({(−2+(√3))^n +(−2−(√3))^n )/n)(cos(nx)−(−1)^n rest to study the case ∣z_1 ∣<∣z∣<∣z_2 ∣.
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{cosx}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{−\mathrm{sinx}}{\mathrm{2}+\mathrm{cosx}}\:=−\frac{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}}\:×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{4}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\:\:\mathrm{changement}\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:=\mathrm{z}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{i}×\frac{\mathrm{z}−\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4}+\mathrm{z}\:+\mathrm{z}^{−\mathrm{1}} }\:=\mathrm{i}×\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{4z}\:+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\mathrm{i}×\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4z}\:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4z}\:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4z}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{4}−\mathrm{1}\:=\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4z}+\mathrm{1}−\mathrm{4z}−\mathrm{2}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4z}\:+\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4z}+\mathrm{2}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4z}\:+\mathrm{1}}\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{4z}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{4z}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{2}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\:=\frac{−\mathrm{8}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{−\mathrm{6}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:=−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{4z}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{−\mathrm{8}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{−\mathrm{6}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:\:=\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{i}\:\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }\right\}\:=\mathrm{i}\:−\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }\:−\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{i}\:+\frac{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} −\mathrm{z}}\:+\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} −\mathrm{z}}\:=\mathrm{i}\:+\frac{\left(\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }}\:+\frac{\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\mathrm{i}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\mathrm{i}\:−\mathrm{i}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} }}\:−\mathrm{i}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} }}\:\:\mathrm{so}\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{z}\mid<\mathrm{inf}\left(\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid,\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{i}−\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }\:−\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }\:=\mathrm{i}−\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{i}−\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{z}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }\right)\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:\:=\mathrm{i}−\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left\{\:\frac{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} }{−\mathrm{1}}\right\}\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\mathrm{i}\:+\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$=\mathrm{i}+\mathrm{i}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} \:\Rightarrow \\ $$$$=\mathrm{i}\:+\mathrm{i}\:\sum_{\mathrm{n}=} ^{\infty} \left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\mathrm{real}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)}{\mathrm{n}}\:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\pi\right)\:=\mathrm{0}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{c}\:=−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\left(\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:+\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left\{\left(−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} +\left(−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{n}} \right.}{\mathrm{n}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right. \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{study}\:\mathrm{the}\:\mathrm{case}\:\mid\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \mid<\mid\mathrm{z}\mid<\mid\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \mid. \\ $$

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