Question Number 98426 by mathmax by abdo last updated on 13/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{x}+\mathrm{tant}}\:\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{explicit}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{tant}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{integrals}\:\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}+\mathrm{tant}}\:\mathrm{and}\:\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{2}+\mathrm{tant}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Answered by maths mind last updated on 14/Jun/20
$${f}\left({x}\right)=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{{dy}}{\left({x}+{y}\right)\left(\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{\left({x}+{y}\right)\left({x}−{y}\right)+\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }{\left({x}+{y}\right)\left(\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} \right)}{dy} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \left\{\frac{{x}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }−\frac{{y}}{\mathrm{1}+{y}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{x}+{y}}\right\}{dy} \\ $$$$=\frac{{x}}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }\left[\frac{\pi}{\mathrm{12}}\right]−\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}+\frac{{ln}\left(\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}+\mathrm{1}}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$${g}\left({x}\right)=−{f}'\left({x}\right) \\ $$$$=−\left\{\frac{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\frac{\pi}{\mathrm{12}}+\frac{{xln}\left(\mathrm{2}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}\left[\frac{\mathrm{1}}{{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right]−\frac{\mathrm{2}{xln}\left(\frac{{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{{x}+\mathrm{1}}\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$\mathrm{3}\:\:\int\frac{{dx}}{\mathrm{2}+{tg}\left({x}\right)}={f}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{30}}−\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{10}}+\frac{{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{5}} \\ $$$$\int\frac{{dx}}{\left(\mathrm{2}+{tg}\left({x}\right)\right)^{\mathrm{2}} }=−\left\{\frac{−\pi}{\mathrm{100}}.+\frac{\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{25}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{4}{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{25}}\right\} \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 14/Jun/20
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by maths mind last updated on 14/Jun/20
$${withe}\:{pleaser}\: \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 14/Jun/20
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{x}+\mathrm{tant}}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tant}\:=\mathrm{u}\:\mathrm{give} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\frac{\mathrm{du}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{u}\right)}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{u}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{u}+\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{bu}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{u}\rightarrow+\infty} \mathrm{uF}\left(\mathrm{u}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{1}\:=\mathrm{a}+\mathrm{xc}\:\Rightarrow\mathrm{xc}\:=\mathrm{1}−\mathrm{a} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}+\mathrm{x}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{u}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}+\mathrm{x}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\frac{\mathrm{u}−\mathrm{x}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\mathrm{du} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{u}+\mathrm{x}\mid\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\left[\mathrm{arctanu}\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\mathrm{ln}\mid\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{x}\mid−\mathrm{ln}\mid\mathrm{1}+\mathrm{x}\mid\right\} \\ $$$$−\frac{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}×\frac{\pi}{\mathrm{12}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid−\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\frac{\pi\mathrm{x}}{\mathrm{12}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$
Commented by abdomathmax last updated on 14/Jun/20
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{3}+\mathrm{tant}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\:\pi\mathrm{x}−\mathrm{ln2}\:+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\:\pi\mathrm{x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right\} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\:\pi+\frac{\left(\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)^{'} }{\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\right\} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\pi\mathrm{x}−\mathrm{ln2}\:+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right\} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\:\pi\:+\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}×\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\pi\mathrm{x}−\mathrm{ln2}\:+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right\} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\:\pi\:+\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\right\} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/20
$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\pi\mathrm{x}−\mathrm{ln2}\:+\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mid\right\}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\pi\:+\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}}{\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}\right\} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/20
$$\left.\mathrm{3}\right)\:\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{2}+\mathrm{tant}}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{2}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{5}}\:+\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{12}\left(\mathrm{5}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{5}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{30}} \\ $$