Menu Close

let-f-x-x-2-ln-1-x-3-1-calculate-f-n-x-and-f-n-0-2-developp-f-at-integr-serie-3-calculate-f-x-dx-

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 105565 by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/20
let f(x) =x^2 ln(1−x^3 ) 1) calculate f^((n)) (x) and f^((n)) (0) 2) developp f at integr serie 3)calculate ∫ f(x)dx
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{serie} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{calculate}\:\int\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 03/Aug/20
1) f(x)=x^2 ln(1−x^3 ) ⇒f^((n)) (x) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k (x^2 )^((k)) (ln(1−x^3 ))^((n−k)) =C_n ^0 x^2 {ln(1−x^3 )}^((n)) +C_n ^1 (2x){ln(1−x^3 )}^((n−1)) +C_n ^2 2{ln(1−x^3 )}^((n−2)) let find {ln(1−x^3 )}^((m)) we have {ln(1−x^3 )}^((1) ) =((−3x^2 )/(1−x^3 )) =((3x^2 )/(x^3 −1)) =((3x^2 )/((x−1)(x^2 +x+1))) =((3x^2 )/((x−1)(x−e^(i((2π)/3)) )(x−e^(−((i2π)/3)) ))) =(a/(x−1)) +(b/(x−e^((i2π)/3) )) +(c/((x−e^(−((i2π)/3)) ))) a =1 ,b =((3e^(i((4π)/3)) )/((e^((i2π)/3) −1)(2isin(((2π)/3))))) =((3e^((i4π)/3) )/(i(√3)(e^((i2π)/3) −1))) b =((3e^(−((i4π)/3)) )/((e^(−((i2π)/3)) −1)(−2i sin(((2π)/3))))) =((−3 e^(−((i4π)/3)) )/(i(√3)(e^(−((i2π)/3)) −1))) so the coefficient are known ⇒{ln(1−x^3 )}^((m)) =((a/(x−1)))^((m−1)) +((b/(x−e^((i2π)/3) )))^((m−1)) +((c/((x−e^(−((i2π)/3)) ))))^((m−1)) =a (((−1)^(m−1) (m−1)!)/((x−1)^m )) +((b(−1)^(m−1) (m−1)!)/((x−e^((i2π)/3) ))) +((c(−1)^(m−1) (m−1)!)/((x−e^(−((i2π)/3)) ))) =A_n f^((n)) (x) =x^2 A_n (x) +2nx A_(n−1) (x) +2C_n ^2 A_(n−2) (x)
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\:\Rightarrow\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{0}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{n}\right)} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{2x}\right)\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)} \:+\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{2}\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{find}\:\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{m}\right)} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)\:} \:=\frac{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\mathrm{1}\:\:\:,\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{3e}^{\mathrm{i}\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{\mathrm{3e}^{\frac{\mathrm{i4}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{3e}^{−\frac{\mathrm{i4}\pi}{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2i}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)}\:=\frac{−\mathrm{3}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i4}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{coefficient}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{known}\:\Rightarrow\left\{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)\right\}^{\left(\mathrm{m}\right)} \:=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)^{\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)} \:+\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }\right)^{\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$+\left(\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\right)^{\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{a}\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} }\:+\frac{\mathrm{b}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)} \\ $$$$+\frac{\mathrm{c}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\:+\mathrm{2nx}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)\:+\mathrm{2C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *