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Question Number 99462 by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
let f(x) =x^3 +2x−5 1) determine f^(−1) (x) 2) find ∫ ((f^(−1) (x))/(f(x)))dx 3) let u(x) =^3 (√x)+2 find ∫ ((uof^(−1) (x))/(uof(x)))dx
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2x}−\mathrm{5} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{determine}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\int\:\frac{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{let}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\:=^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{2}\:\:\mathrm{find}\:\int\:\:\frac{\mathrm{uof}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{uof}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 22/Jun/20
Putting f^(−1) (x)=u ⇒fof^(−1) (x)=x⇒f(u)=x ⇒u^3 +2u−5−x=0 (1).Setting u=−(m+n) ⇒m+n+u=0⇒u^3 +m^3 +n^3 −3nmn=0(2) From (1) and (2) we get { ((m^3 +n^3 =−5−x)),((mn=((−2)/3))) :} ⇒(m^3 −n^3 )^2 =(m^3 +n^3 )^2 −4m^3 n^3 =x^2 +10x+((707)/(27)) ⇒ { ((m^3 +n^3 =−5−x)),((m^3 −n^3 =(√(x^2 +10x+((707)/(27)))))) :} ⇒ { ((m^3 =((−5−x+(√(x^2 +10x+((707)/(27)))))/2))),((n^3 =((−5−x−(√(x^2 +10x+((707)/(27)))))/2))) :} ⇒f^(−1) (x)=u=−(m+n)=^3 (√((5+x−(√(x^2 +10x+((707)/(27)))))/2)) +^3 (√((5+x+(√(x^2 +10x+((707)/(27)) )))/2)) b/ ∫((f^(−1) (x))/(f(x)))dx.Putting f^(−1) (x)=u⇒f(u)=x⇒dx=f ′(u)du=(3u^2 +2)du and x=u^3 +2u−5⇒f(x)=(u^3 +2u−5)^3 +2u^3 +4u−15 =u^9 +8u^3 −125+6u^7 −15u^6 −60u^2 +12u^5 +75u^3 +150u−60u^4 +2u^3 +4u−15= u^9 +6u^7 −15u^6 +12u^5 −60u^4 +77u^3 −60u^2 +154u−140 Hence,F=∫((u(3u^2 +2)du)/((u^3 +2u−5)^3 +2(u^3 +2u−5)−5))
$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u}\:\Rightarrow\mathrm{fof}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}−\mathrm{5}−\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\left(\mathrm{1}\right).\mathrm{Setting}\:\mathrm{u}=−\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}+\mathrm{n}+\mathrm{u}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3nmn}=\mathrm{0}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} =−\mathrm{5}−\mathrm{x}}\\{\mathrm{mn}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\end{cases}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{m}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4m}^{\mathrm{3}} \mathrm{n}^{\mathrm{3}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} +\mathrm{n}^{\mathrm{3}} =−\mathrm{5}−\mathrm{x}}\\{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{3}} =\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}}}}\end{cases}\: \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{m}^{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{5}−\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{5}−\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}}}}{\mathrm{2}}}\end{cases}\:\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u}=−\left(\mathrm{m}+\mathrm{n}\right)=^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{5}+\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}}}}{\mathrm{2}}}\:+\:^{\mathrm{3}} \sqrt{\frac{\mathrm{5}+\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10x}+\frac{\mathrm{707}}{\mathrm{27}}\:}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{b}/\:\:\:\int\frac{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}.\mathrm{Putting}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)=\mathrm{x}\Rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\left(\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{x}=\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}−\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4u}−\mathrm{15} \\ $$$$=\mathrm{u}^{\mathrm{9}} +\mathrm{8u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{125}+\mathrm{6u}^{\mathrm{7}} −\mathrm{15u}^{\mathrm{6}} −\mathrm{60u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12u}^{\mathrm{5}} +\mathrm{75u}^{\mathrm{3}} \\ $$$$+\mathrm{150u}−\mathrm{60u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4u}−\mathrm{15}= \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{9}} +\mathrm{6u}^{\mathrm{7}} −\mathrm{15u}^{\mathrm{6}} +\mathrm{12u}^{\mathrm{5}} −\mathrm{60u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{77u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{60u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{154u}−\mathrm{140} \\ $$$$\mathrm{Hence},\mathrm{F}=\int\frac{\mathrm{u}\left(\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\mathrm{du}}{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}−\mathrm{5}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2u}−\mathrm{5}\right)−\mathrm{5}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20
thank you sir .
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:. \\ $$
Commented by 1549442205 last updated on 25/Jun/20
you are wellcome,sir.
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{wellcome},\mathrm{sir}. \\ $$

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