Question Number 32283 by abdo imad last updated on 22/Mar/18
$${let}\:{give}\:{f}\left({x}\right)={x}+\mathrm{2}\:−\sqrt{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:{inverse}\:{of}\:{f}\left({x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{calculate}\:\left({f}^{−\mathrm{1}} \right)^{'} \left({x}\right)\:. \\ $$
Commented by abdo imad last updated on 24/Mar/18
$${D}_{{f}} =\left[−\mathrm{1},+\infty\left[\:\:{f}\left({x}\right)={y}\:\Leftrightarrow\:{y}={x}+\mathrm{2}\:−\sqrt{{x}+\mathrm{1}}\:\Leftrightarrow\right.\right. \\ $$$$\left({x}+\mathrm{2}\:−{y}\right)^{\mathrm{2}} \:={x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}{y}\left({x}+\mathrm{2}\right)\:+{y}^{\mathrm{2}} \:−{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}{x}\:+\mathrm{4}\:−\mathrm{2}{yx}\:−\mathrm{4}{y}\:+{y}^{\mathrm{2}} \:−{x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\Rightarrow \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}{y}\right){x}\:+{y}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{y}\:+\mathrm{3}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\:\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}{y}\right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}\left({y}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{y}\:+\mathrm{3}\right)= \\ $$$$=\mathrm{9}\:−\mathrm{12}{y}\:+\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{4}{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{16}{y}\:−\mathrm{12}\:=\mathrm{4}{y}\:−\mathrm{3} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\:\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{2}{y}\:+\sqrt{\:\mathrm{4}{y}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:{and}\:\:{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{3}\:+\mathrm{2}{y}\:−\sqrt{\mathrm{4}{h}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${we}\:{must}\:{have}\:\:{x}+\mathrm{2}−{y}\:\geqslant\mathrm{0}\:{let}\:{verify} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\:−{y}\:=\frac{−\mathrm{3}\:+\mathrm{2}{y}\:−\sqrt{\mathrm{4}{y}\:−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{2}−{y} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{3}\:+\mathrm{2}{y}\:−\sqrt{\mathrm{4}{y}−\mathrm{3}}\:+\mathrm{4}−\mathrm{2}{y}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}−{y}\:−\sqrt{\mathrm{4}{y}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:<\mathrm{0}\:{so}\:{the} \\ $$$${soution}\:{is}\:{x}_{\mathrm{1}} \:\:{and}\:{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\frac{\mathrm{2}{x}\:+\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}\:−\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:=\:{x}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left({f}^{−\mathrm{1}} \right)^{'} \left({x}\right)\:=\:\mathrm{1}+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}}\:=\:\mathrm{1}+\:\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}}\:.\:{with}\:{x}>\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:. \\ $$
Answered by MJS last updated on 22/Mar/18
$${x}={y}+\mathrm{2}−\sqrt{{y}+\mathrm{1}} \\ $$$$\sqrt{{y}+\mathrm{1}}=−{x}+{y}+\mathrm{2} \\ $$$${y}+\mathrm{1}={y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{2}−{x}\right){y}+\left(\mathrm{2}−{x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}{x}\right){y}+\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${p}=\mathrm{3}−\mathrm{2}{x};\:{q}=\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{3}\right) \\ $$$${y}=−\frac{{p}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{q}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}={x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}'=\mathrm{1}\pm\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ×\mathrm{4}}{\mathrm{2}} \\ $$$${y}'=\mathrm{1}\pm\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{4}{x}−\mathrm{3}}} \\ $$