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Question Number 19696 by Tinkutara last updated on 14/Aug/17
Let m be the smallest odd positive integer for which 1 + 2 + ... + m is a square of an integer and let n be the smallest even positive integer for which 1 + 2 + ... + n is a square of an integer. What is the value of m + n?
$$\mathrm{Let}\:{m}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{smallest}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\mathrm{integer}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:…\:+\:{m}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{square}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{and}\:\mathrm{let}\:{n}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{smallest}\:\mathrm{even}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{which}\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{2}\:+\:…\:+\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{square}\:\mathrm{of}\:\mathrm{an} \\ $$$$\mathrm{integer}.\:\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{m}\:+\:{n}? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Aug/17
Case-1: m∈O 1+2+...m=((m(m+1))/2) Let m=2k+1 ((m(m+1))/2)=(((2k+1)(2k+2))/2)=a^2 (say) ((4k^2 +4k+2k+2)/2)=a^2 2k^2 +3k+1−a^2 k=((−3±(√(9−4(2)(1−a^2 ))))/4) k=((−3±(√(1+8a^2 ))))/4) a=1⇒k=((−3±3)/2)=0,−3 k=0⇒m=2k+1=1 m=1 is the smallest positive integer for which 1+2+...+m is perfect square. k=−3⇒m=2(−3)+1=−5 (−ve) So −5 is discardable. a=6 ⇒(√(1+8(6)^2 ))=17 k=((−3±17)/4)=(7/2),−5 Both are discardable. Case−2: n∈E 1+2+...+n=b^2 ((n(n+1))/2)=b^2 Let n=2k ((2k(2k+1))/2)=b^2 2k^2 +k−b^2 =0 k=((−1±(√(1−4(2)(−b^2 ))))/4) k=((−1±(√(1+8b^2 )))/4) b=1⇒k=((−1±3)/4)=−1,(1/2) Both are discardable. b=6⇒k=((−1±17)/4)=−(9/2),4 −(9/2) is discardable. k=4⇒n=8 1+2+...+8=((8×9)/2)=36 n=8 is the smallest positive integer for which 1+2+...+n is perfect square.
$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}:\:\mathrm{m}\in\mathbb{O} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+…\mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{m}=\mathrm{2k}+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{m}\left(\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\frac{\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2k}+\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left({say}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4k}+\mathrm{2k}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3k}+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}−\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{3}\pm\sqrt{\left.\mathrm{1}+\mathrm{8a}^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{3}\pm\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{0},−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{2k}+\mathrm{1}=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{m}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{smallest}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\mathrm{integer}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{m} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}. \\ $$$$\mathrm{k}=−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{2}\left(−\mathrm{3}\right)+\mathrm{1}=−\mathrm{5}\:\:\left(−\mathrm{ve}\right) \\ $$$$\mathrm{So}\:\:−\mathrm{5}\:\mathrm{is}\:\mathrm{discardable}. \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{6}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8}\left(\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{17} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{3}\pm\mathrm{17}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}},−\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Both}\:\mathrm{are}\:\mathrm{discardable}. \\ $$$$\mathrm{Case}−\mathrm{2}:\:\mathrm{n}\in\mathbb{E} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{n}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{n}=\mathrm{2k} \\ $$$$\frac{\mathrm{2k}\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{8b}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{1}\pm\mathrm{3}}{\mathrm{4}}=−\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Both}\:\mathrm{are}\:\mathrm{discardable}. \\ $$$$\mathrm{b}=\mathrm{6}\Rightarrow\mathrm{k}=\frac{−\mathrm{1}\pm\mathrm{17}}{\mathrm{4}}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}},\mathrm{4} \\ $$$$−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{discardable}. \\ $$$$\mathrm{k}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{8}=\frac{\mathrm{8}×\mathrm{9}}{\mathrm{2}}=\mathrm{36} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{n}=\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{smallest}\:\mathrm{positive} \\ $$$$\mathrm{integer}\:\mathrm{for}\:\mathrm{which}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{perfect}\:\mathrm{square}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 15/Aug/17
Thank you very much Sir!
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{very}\:\mathrm{much}\:\mathrm{Sir}! \\ $$

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